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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:10 So 20.06.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei [mm] \vec{E}=(4x,-2y^{2},z^{2}) [/mm] ein Vektorfeld um einen Zylinder, eingeschlossen von den Ebenen z=0,z=3 und dem Mantel [mm] x^{2}+y^{2}=4.
[/mm]
(i) Bestimmen Sie [mm] \int_{S_{1}}d\vec{A}\cdot\vec{E}, [/mm] wobei [mm] S_{1} [/mm] den Zylindermante bezeichnet.
(ii) Bestimmen Sie [mm] \int_{S_{2}}d\vec{A}\cdot\vec{E}, [/mm] wobei [mm] S_{2} [/mm] aus beiden Endkappen besteht. |
Hallo,
ich bin mir total unsicher beim Vorgehen, hab aber schonmal trotzdem etwas rumexperimentiert.
Zunächst Transformation in Zylinderkoordinaten [mm] (x=2\mbox{cos}\varphi,y=2\mbox{sin}\varphi,z=z): \vec{E}=(8\mbox{cos}\varphi,-8\mbox{sin}^{2}\varphi,z^{2}).
[/mm]
Dann bilde ich [mm] \partial_{\varphi}\vec{E}\times\partial_{z}\vec{E}=(-16sin\varphi cos\varphi,-8sin\varphi,0)
[/mm]
Also: [mm] (-16sin\varphi cos\varphi,-8sin\varphi,0)\cdot\vec{E}=-128sin\varphi cos^{2}\varphi+64sin^{2}\varphi.
[/mm]
Dann: [mm] \int_{S_{1}}d\vec{A}\vec{E}&=&\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{2}\left(-128sin\varphi cos^{2}\varphi+64sin^{2}\varphi\right)dz\\&=&\int_{0}^{2\pi}d\varphi\left(-384sin\varphi cos^{2}\varphi+192sin^{2}\varphi\right)\\&=&\left[-128sin^{3}\varphi+192(-\frac{1}{2}sin\varphi cos\varphi+\frac{1}{2}\varphi)\right]_{0}^{2\pi}\\&=&192\pi
[/mm]
Ich weiß aber, dass als Ergebnis [mm] 48\pi [/mm] rauskommen soll. Hab ich irgendwelche Grenzen falsch, oder ist das gesamte Vorgehen falsch.
Allerdings sehe ich dann auch nicht, wie ich bei (ii) vorgehen soll??
Bin über jegliche Hilfe hocherfreut.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 So 20.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
a.)
Also...ich weiss nicht was du da mit E [mm] \times [/mm] E gerechnet hast...kA...
Du kannst die Mantelfläche so beschreiben F = [mm] \vektor{2*cos(t) \\ 2*sin(t) \\ z}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{dA} [/mm] = [mm] F_{z} \times F_{t}
[/mm]
E = [mm] \vektor{4 * 2* cos(t) \\ -2*sin(t)^{2}*4 \\ z^{2}}
[/mm]
b.)
Naja der Normalenvektor bei der Deckfläche ist n = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Jetzt solltest du selbst Weiterkommen. Ich komme aufs richtige Ergebnis.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 So 20.06.2010 | | Autor: | Unk |
> b.)
>
> Naja der Normalenvektor bei der Deckfläche ist n =
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
>
> Jetzt solltest du selbst Weiterkommen. Ich komme aufs
> richtige Ergebnis.
>
>
> Gruss
Hallo,
ok, wenn ich (b) berechne fehlt mir irgendwo immer ein Faktor 2.
Ich habe gerechnet: [mm] \int_{S_{2}}d\vec{A}\vec{E}&=&\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{3}dz((0,0,1)\cdot(8cos\varphi,-8sin^{2}\varphi,z^{2}))\\&=&\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{3}dz(z^{2})\\&=&18\pi.
[/mm]
Es soll aber das doppelte rauskommen.
Was ist nun schon wieder falsch?
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Hallo!
Da gibts anscheinend noch ein Problem mit dem Flächenelement bei dir...
Dieses [mm] d\vec{A} [/mm] ist ein Vektor, der senkrecht auf dem Flächenelement steht, und dessen Länge der Fläche entspricht.
Auf dem Mantel ist ein Flächenstück so ein "gebogenes Rechteck", es hat in z-Richtung die Länge dz, und radial die Länge [mm] \red{r}*d\phi, [/mm] also insgesamt die Fläche [mm] r*d\phi*dz.
[/mm]
Wenn du die Fläche alleine berechnest, bekommst du als Mantelfläche [mm] $A=\int_0^{2\pi}\int_0^Hr\,d\phi\,dz=2\pi [/mm] Rh$ mit R: Radius und H: Höhe
In der Antwort eben wurde dir ein Normalenvektor für den Mantel gegeben. Dessen Länge ist auch noch exakt gleich r!
Für die Kappen geht es ebenso: Zerlege sie in einzelne Kreisscheiben, um die dann nochmal radial zu zerlegen. Für die Fäche eines solchen Stücks kann man näherungsweise dr als Kreisscheibendicke und [mm] r*d\phi [/mm] als "breite" annehmen, auch hier würde man so die Fläche berechnen:
[mm] $A=\int_0^{2\pi}\int_0^Rr\, d\phi \, [/mm] dr [mm] =2\pi R^2$ [/mm] , also auch ein bekanntes Ergebnis.
Du solltest dein [mm] $dA=\partial_rF\times\partial_\phi [/mm] F$ für die Kappen auch mal berechnen, dann kommst du auf [mm] \vektor{0\\0\\ \red{r}} [/mm] . Und das macht bei der Integration genau ein [mm] R^2/2 [/mm] , was für R=2 nen Faktor 2 ergibt.
Grundsätzlich kannst du dir auch so (ohne das jetzt mathematisch zu begründen) merken: Bei Integration in Polarkoordinaten gibt es immer einen zusätzlichen Faktor r im Integranden, wenn du dir deine Flächennormalen wie gehabt berechnest, steckt der Faktor da schon drin.
Ach, nebenbei, was mir auffällt: Benutze in LaTeX doch einfach \sin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 20.06.2010 | | Autor: | Unk |
Ok ich hab mal noch eine Nachfrage. Ich hab jetzt die Endkappen, die ja 2D Kreise sind mal so parametrisiert: [mm] \vec(r)=(r \sin\phi,r \cos \phi,0).
[/mm]
Dann kommt für das Flächenelement auch (0,0,r) raus.
Aber eigentlich würde diese Parametrisierung ja nur für die untere Kappe gelten oder? Für die obere ist z=3 und nicht 0.
So ganz einen Sinn macht das für mich noch nicht wirklich.
Wie sieht dann aber [mm] \vec{E} [/mm] bzgl dieser Parametrisierung aus? Wenn ich da auch z=0 setze erhalte ich ja anschließend im Integral ein Nullintegral.
Oder kann ich einfach für [mm] \vec{E} [/mm] die Parametrisierung aus dem ersten Teil übernehmen? Aber dann hab ich da ja wieder ein z drin, was ich nicht gebrauchen kann.
Die Frage ist einfach, was ergibt [mm] d\vec{A}\vec{E}=(0,0,r)\vec{E}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 So 20.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ja es ist richtig was du sagst, auch wenn du es noch nicht so kapierst.
Z ist konstant! Einmal ist es 0, ein anderes 3. Nur x und y variiren, und diese multiplizierst du eben nun mit dem Flächenelement und integrirst das ganze auf.
Und wie eigentlich gesagt, du kannst einerseits den Normalenvektor mit Betrag der Fläche inbegriffen berechnen also n = (0,0,r) oder du kannst
n = (0,0,1) setzen und dafür standardgemäss(sag ich mal so) über "r*d(phi)*dr*dz" integrieren. z ist konstant, also fällt das dz weg.
Ja und jetzt in das E hald eben diese Wete einsetzen. Also für die Obere Deckfläche z=3, x = 2*cos(t), y = 2*sin(t). Demzufolge hast du für z=0 ein Nullintegral, richtig - und das gibt Null; ).
Gruss
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Hallo!
Noch ein wichtiger Punkt: Bei diesen Integralen über geschlossene Oberflächen kommt es darauf an, daß die Normalenvektoren alle die gleiche Orientierung haben, das heißt, daß sie z.B. alle nach außen zeigen. Demnach müßtest du den Normalenvektor der Kappe für z=0 noch mit -1 multiplizieren. Das hat bei deiner Aufgabe zufällig keine Auswirkung, da das Feld für z=0 keine Komponente in z-Richtung besitzt, und du hier eh 0 als Fluß raus bekommst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 So 20.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ja sag mal EventHorizon, weisst du eine gute Methode(!) vielleicht wie man erkennt in welche Richtung der Normalenvektor zeigt? So was allgemeines?
Ich setz immer Zufallswerte ein, und überleg mir dann mit Skizze und so ob das die richtige Richtung ist. Gibt es nicht was formelmässig, standardisiertes?
Gruss&Dank
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Hallo!
Definitionsgemäß benutzt man normalerweise als Orientierung "nach außen". Denn z.B. die Maxwellgleichungen liefern dir die Ladung, die sich innerhalb einer geschlossenen Oberfläche befindet über den Fluß durch die Oberfläche. Nimmst du die falsche Orientierung, bekommst du ein falsches Vorzeichen.
Ich bin nun allerdings auch ratlos, was eine allumfassende Lösung für dieses Problem angeht, es gibt ja sogar Objekte, bei denen es kein "innen" und "außen" gibt. Da wäre dir kleinsche Flasche, oder das Möbiusband.
Man könnte jetzt mit Rechts- und Linkssystemen anfangen, und dann mit viel Disziplin versuchen, keine Vorzeichenfehler zu machen. Dann muß man ja auch noch bedenken, was man unter "innen" versteht. Denn eine Ebene bei z=3 und eine bei z=1 werden bei sämtlichen Verfahren sicher beide immer das gleiche liefern. Man braucht ja noch die Info, daß "innen" zwischen den beiden Ebenen liegt. Man könnte sich auch ein zu einem C gebogenes Rohr mit den Ebenen als Endkappen vorstellen, dann wäre "dazwischen" nämlich "außen"...
Andererseits sind die Aufgaben oft auch eher handwerklicher Natur wie hier, wo der Zylinder aus zwei Ebenen und nem Zylindermantel gebastelt wird. Da ist man mit ner Skizze sicher sehr viel schneller, meistens auch dann, wenn man es nicht mit ganz so einfachen Geometrien zu tun hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 So 20.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Scheint noch eine Fehlerquelle zu sein - muss man aufpassen als Ingenieur.
Ist sicher von Hilfe, wenn man die Definition des Vektorprodukts versteht, bzw. weiss in welche Richtung in Vektor zeigt, wenn er aus dem Vektorprodukt gebildet wurde.
Danke.
Qsxqsx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 So 20.06.2010 | | Autor: | Unk |
Es soll wirklich 0 rauskommen? Bei der Aufgabe steht nämlich dahinter, dass man als Ergebnis [mm] 36\pi [/mm] erhalten soll, was der Grund für meine Nachfrage mit dem Nullintegral war.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 So 20.06.2010 | | Autor: | Unk |
Achso ja jetzt hab ichs gecheckt, hab die z=3 vollkommen vergessen.
Dann sollte es passen.
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Ok, zur Vollständigkeit und Beantwortgung der offenen Frage:
Jap, durch die untere Ebene geht kein Fluß, durch die obere sehr wohl schon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 So 20.06.2010 | | Autor: | Unk |
Danke bis hierhin. Jetzt soll ich aber noch folgendes berechnen:
[mm] \int_{V}dV\nabla\cdot\vec{E}.
[/mm]
Ich habs zunächst mit dem Satz von Gauß gemacht, nach dem es dann leicht aus den ersten beiden Teilen folgt durch einfache Addition, m.a.W. als Ergebnis muss [mm] 84\pi [/mm] rauskommen.
Ich möchte es aber nun auch mal auf herkömmlichen Wege machen.
Dazu habe ich nachgeguckt und rausgefunden, dass : [mm] \nabla=(\partial_{\rho},\frac{1}{\rho}\partial_{\varphi},\partial_{z}).
[/mm]
Demnach komme ich auf [mm] \nabla\cdot\vec{E}=4\cos\varphi-4\rho\sin\varphi\cos\varphi+2z.
[/mm]
Insgesamt also: [mm] \int_{V}dV\nabla\cdot\vec{E}=\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{2}d\rho\int_{0}^{3}dz(4\cos\varphi\rho-4\rho^{2}\sin\varphi\cos\varphi+2\rho [/mm] z).
Wenn ich die Integration komplett durchziehe, erhalte ich aber nie die [mm] 84\pi, [/mm] sondern immer nur [mm] 36\pi.
[/mm]
Kann man sehen, wo ich jetzt schon wieder Mist gebaut habe? Habs extra mehrmals gerechnet.
Dieses integrieren fängt langsam an mich zu Nerven...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 So 20.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Vorneweg: Ich bin nicht gut damit vertraut, wie man die Divergenz in Polarkoordinaten berechnet - muss mich dazu mal durchlesen.
Aber du kannst auch zuerst die Divergenz von E im Kartesischen berechnen:
div(E) = 4 - 4*y + 2*z
[mm] \integral_{0}^{2}{}\integral_{0}^{3}{}\integral_{0}^{2*\pi}{(4 - 4*p*sin(\phi) + 2*z)*p*d\phi*dz*dp}
[/mm]
Daran kannst du sicher die Fehler, die du beim "divergieren" in Polarkoordinaten gemacht hast, sehen.
Gruss
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