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| Aufgabe | In einem Wasser mit konstanter Strömungsgeschwindigkeit [mm]v(x, y, z) = (2, 0, 0)[/mm] sei ein Netz aufgehängt, dessen Form durch die folgende Abbildung gegeben ist:
[mm][0, 3] \times [0, 2\pi] \ni (u, v) \mapsto (u - tanh(u), \bruch{cos(v)}{cosh(u)}, \bruch{sin(v)}{cosh(u)}) \in \IR^{3}[/mm].
Berechnen Sie den Gesamtfluß pro Zeiteinheit des Wassers durch das Netz. |
So, die Aufgabe sollte eigentlich nicht das große Problem sein, trotzdem verzweifel ich schon seit 2 Stunden dran.
Sei F unser Netz mit Darstellung p. Weiter sei [mm]M := [0,3] \times [0,2\pi][/mm] und das Vektorfeld nennen wir um Verwechslungen zu vermeiden g.
Dann ist also der Fluss:
[mm]\integral_{F}{}{ do} = \integral_{M}{}{ * \left|n(p(u,v))\right| d(u,v)}[/mm]
Wobei [mm]n(p(u,v)) = (B_{1}(u,v), B_{2}(u,v), B_{3}(u,v))[/mm] das Normalenfeld ist und [mm]B_{j}(u,v) = (-1)^{j+3} * det (S_{j})[/mm] und [mm]S_{j} = p'(u,v)[/mm] ohne die j-te Spalte.
Ich hab nun zunächst für p'(u,v) folgendes raus:
[mm]p'(u,v) = \pmat{ tanh^2(u) & 0 \\ -cos(v) * \bruch{sinh(u)}{cosh^2(u)} & - \bruch{sin(v)}{cosh(u)} \\ -sin(v) * \bruch{sinh(u)}{cosh^2(u)} & \bruch{cos(v)}{cosh(u)}}[/mm]
Wenn ich nun weiter rechne, erhalte ich:
[mm]
B_1(u,v) = - \bruch{sinh(u)}{cosh^3(u)}
B_2(u,v) = - cos(v) * \bruch{sinh^2(u)}{cosh^3(u)}
B_3(u,v) = - sin(v) * \bruch{sinh^2(u)}{cosh^3(u)}
[/mm]
Und dann folgt [mm]\left|n(p(u,v))\right| = \bruch{sinh(u)}{cosh^2(u)}[/mm].
Wenn ich das alles nun in meine Formel einsetze, erhalte ich folgendes:
[mm]\integral_{F}{}{ do} = \integral_{M}{}{ * \left|n(p(u,v))\right| d(u,v)} = \integral_{M}{}{<(2,0,0), (B_1,B_2,B_3)> * \bruch{sinh(u)}{cosh^2(u)} d(u,v)} = \integral_{M}{}{-2 * \bruch{sinh(u)}{cosh^3(u)} * \bruch{sinh(u)}{cosh^2(u)} d(u,v)} = \integral_{M}{}{-2 * \bruch{sinh^2(u)}{cosh^5(u)} d(u,v)} [/mm]
So und da liegt nun mein Problem. Wenn ich jetzt dieses Integral mittels Fubini lösen will, dann is das Integrieren nach v natürlich kein Problem, aber das Integrieren nach u. Ich hab mal Maple rechnen lassen und da kommt ein riesiger Term raus, bei dem ich mir einfach nicht vorstellen kann, dass das das Ergebnis ist.
Deshalb meine Frage: Sieht hier irgendjemand einen Rechenfehler oder hab ich gar systematisch was falsch gemacht? Ich find nämlich einfach den Fehler nicht, falls es ihn denn gibt.
Ausführlichere Rechenschritte kann ich bei Bedarf gerne nachliefern.
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Hallo Vuffi-Raa,
> In einem Wasser mit konstanter Strömungsgeschwindigkeit
> [mm]v(x, y, z) = (2, 0, 0)[/mm] sei ein Netz aufgehängt, dessen
> Form durch die folgende Abbildung gegeben ist:
> [mm][0, 3] \times [0, 2\pi] \ni (u, v) \mapsto (u - tanh(u), \bruch{cos(v)}{cosh(u)}, \bruch{sin(v)}{cosh(u)}) \in \IR^{3}[/mm].
>
> Berechnen Sie den Gesamtfluß pro Zeiteinheit des Wassers
> durch das Netz.
> So, die Aufgabe sollte eigentlich nicht das große Problem
> sein, trotzdem verzweifel ich schon seit 2 Stunden dran.
>
> Sei F unser Netz mit Darstellung p. Weiter sei [mm]M := [0,3] \times [0,2\pi][/mm]
> und das Vektorfeld nennen wir um Verwechslungen zu
> vermeiden g.
>
> Dann ist also der Fluss:
>
> [mm]\integral_{F}{}{ do} = \integral_{M}{}{ * \left|n(p(u,v))\right| d(u,v)}[/mm]
Die Gleichung stimmt nicht ganz.
Es ist [mm]do \ = \vmat{p_{u} \times p_{v}} \ d\left(u,v\right)[/mm]
Und [mm]n= \bruch{1}{\vmat{p_{u} \times p_{v}}}*\left(p_{u} \times p_{v}\right)[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]\integral_{F}{}{ do} = \integral_{M}{}{ d(u,v)}[/mm]
>
> Wobei [mm]n(p(u,v)) = (B_{1}(u,v), B_{2}(u,v), B_{3}(u,v))[/mm] das
> Normalenfeld ist und [mm]B_{j}(u,v) = (-1)^{j+3} * det (S_{j})[/mm]
> und [mm]S_{j} = p'(u,v)[/mm] ohne die j-te Spalte.
>
> Ich hab nun zunächst für p'(u,v) folgendes raus:
>
> [mm]p'(u,v) = \pmat{ tanh^2(u) & 0 \\ -cos(v) * \bruch{sinh(u)}{cosh^2(u)} & - \bruch{sin(v)}{cosh(u)} \\ -sin(v) * \bruch{sinh(u)}{cosh^2(u)} & \bruch{cos(v)}{cosh(u)}}[/mm]
>
> Wenn ich nun weiter rechne, erhalte ich:
>
> [mm]
B_1(u,v) = - \bruch{sinh(u)}{cosh^3(u)}
B_2(u,v) = - cos(v) * \bruch{sinh^2(u)}{cosh^3(u)}
B_3(u,v) = - sin(v) * \bruch{sinh^2(u)}{cosh^3(u)}
[/mm]
>
> Und dann folgt [mm]\left|n(p(u,v))\right| = \bruch{sinh(u)}{cosh^2(u)}[/mm].
>
> Wenn ich das alles nun in meine Formel einsetze, erhalte
> ich folgendes:
>
> [mm]\integral_{F}{}{ do} = \integral_{M}{}{ * \left|n(p(u,v))\right| d(u,v)} = \integral_{M}{}{<(2,0,0), (B_1,B_2,B_3)> * \bruch{sinh(u)}{cosh^2(u)} d(u,v)} = \integral_{M}{}{-2 * \bruch{sinh(u)}{cosh^3(u)} * \bruch{sinh(u)}{cosh^2(u)} d(u,v)} = \integral_{M}{}{-2 * \bruch{sinh^2(u)}{cosh^5(u)} d(u,v)}[/mm]
>
> So und da liegt nun mein Problem. Wenn ich jetzt dieses
> Integral mittels Fubini lösen will, dann is das
> Integrieren nach v natürlich kein Problem, aber das
> Integrieren nach u. Ich hab mal Maple rechnen lassen und da
> kommt ein riesiger Term raus, bei dem ich mir einfach nicht
> vorstellen kann, dass das das Ergebnis ist.
> Deshalb meine Frage: Sieht hier irgendjemand einen
> Rechenfehler oder hab ich gar systematisch was falsch
> gemacht? Ich find nämlich einfach den Fehler nicht, falls
> es ihn denn gibt.
> Ausführlichere Rechenschritte kann ich bei Bedarf gerne
> nachliefern.
In dem resultierenden Integral ist demmach der Betrag
Deines errechneten Normalenvektors zu viel.
Daher lautet das zu berechnende Integral:
[mm]\integral_{F}{}{ do} = \integral_{M}{}{ * d(u,v)} [/mm]
[mm]= \integral_{M}{}{<(2,0,0), (B_1,B_2,B_3)> d(u,v)} = \integral_{M}{}{-2 * \bruch{sinh(u)}{cosh^3(u)} d(u,v)}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Di 02.02.2010 | | Autor: | Vuffi-Raa |
Ah, ich bin mit Normalenvektor und Normaleneinheitsvektor durcheinander gekommen.
Dankeschön für die Hilfe, jetzt ist alles klar! =)
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