Fluss über Kugel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes [mm] \underline{V}(x,y,z) [/mm] = [mm] (3xy^{2} [/mm] , [mm] 3x^{2}y [/mm] , [mm] z^{3}) [/mm] durch die Oberfläche der Kugel [mm] K(\underline{0},2) [/mm] |
Halli Hallo,
die Rotation meines Vektorfeldes ist 0, kann ich dann gleich sagen, dass mein Fluss auch 0 ist?
Wenn mein Vektorfeld kugelsymmetrisch wäre würde es auf jeden fall nicht stimmen oder? Woran sehe ich ob mein Vektorfeld kugelsymmetrisch ist?
Danke!
Grüße Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes
> [mm]\underline{V}(x,y,z)[/mm] = [mm](3xy^{2}[/mm] , [mm]3x^{2}y[/mm] , [mm]z^{3})[/mm] durch
> die Oberfläche der Kugel [mm]K(\underline{0},2)[/mm]
> Halli Hallo,
>
> die Rotation meines Vektorfeldes ist 0, kann ich dann
> gleich sagen, dass mein Fluss auch 0 ist?
Diesen Schluss könntest du dann ziehen,
wenn die Divergenz des Feldes überall
(oder wenigstens im Kugelinneren) gleich 0
wäre.
> Wenn mein Vektorfeld kugelsymmetrisch wäre würde es auf
> jeden fall nicht stimmen oder? Woran sehe ich ob mein
> Vektorfeld kugelsymmetrisch ist?
Ein kugelsymmetrisches Feld müsste die
Form
[mm] $\underline{V}(x,y,z)=f(r)*(x,y,z)$ [/mm] mit [mm] r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
haben. Dann wäre der Fluss durch obige
Kugeloberfläche
[mm] 4\pi\,r^2*f(r) [/mm] mit $\ r=2$
Hier ist es aber nicht ganz so einfach, und
du solltest wohl den Gaußschen Integralsatz
anwenden. Das wird allerdings auch ganz nett.
> Danke!
> Grüße Daniel
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Danke für die schnelle Antwort!!!
Wie schaut es mit dem Stokes aus? Kann ich nicht den Fluss durch die obere Kugelhälfte und den Fluss durch die untere Kugelhälfte addieren? Das wäre dann aber auch 0 durch die Rotation.
Meinst du mit "nett" aufwendig oder einfach?
Danke!!
Grüße Daniel
|
|
|
| |
|
Hallo Daniel,
ich habe schon den Satz von Gauß gemeint.
Und mit "nett" habe ich "angenehm" gemeint.
Es muss ja nicht immer ironisch sein.
Man sieht ja sofort, dass
[mm] div\,{\overrightarrow{F}}=3\,(x^2+y^2+z^2)=3\,r^2
[/mm]
Um den Fluss durch die Kugeloberfläche zu
erhalten, müssen wir also [mm] 3\,r^2 [/mm] über das
Kugelvolumen integrieren - und das kann
ja unmöglich Null ergeben. Man braucht
aber kein Dreifachintegral, sondern kommt
mit einem einzigen Integral nach r aus.
LG
|
|
|
| |
|
bist du dir sicher, dass ein Einfachintegral über r ausreicht?
Wenn ich nur über r integriere bekomme ich [mm] r^{3} [/mm] als Ergebnis und wenn ich das Dreifachintegral löse komme ich auf [mm] \bruch{12}{5}r^{5}.
[/mm]
Danke für eure Antworten!
Grüße Daniel
|
|
|
| |
|
> bist du dir sicher, dass ein Einfachintegral über r
> ausreicht?
Ja, in diesem Fall schon, weil die Divergenz
nur von r abhängig ist.
> Wenn ich nur über r integriere bekomme ich [mm]r^{3}[/mm] als
> Ergebnis und wenn ich das Dreifachintegral löse komme ich
> auf [mm]\bruch{12}{5}r^{5}.[/mm]
hier hast du noch einen Faktor [mm] \pi [/mm] vergessen ...
und den Radius der ganzen Kugel würde ich
zur Unterscheidung von der Integrations-
variablen r mit R bezeichnen.
Das Ergebnis [mm] \bruch{12\,\pi}{5}R^{5} [/mm] erhält man
auch durch die Integration nur über r.
Das entsprechende Integral lautet:
[mm] $\integral_{r=0}^{R}3\,r^2*\underbrace{4\,\pi\,r^2}_{A(r)}\ [/mm] dr$
$\ A(r)$ ist die Oberfläche der Kugel mit Radius r.
Über diese Kugelfläche hinweg ist der Wert der
Divergenz konstant gleich [mm] $3\,r^2$.
[/mm]
$\ A(r)*dr$ ist das Volumen der entsprechenden
Kugelschale der (infinitesimalen) Dicke dr.
Das Produkt aus diesem Volumen und [mm] $3\,r^2$
[/mm]
ergibt den Beitrag, welchen diese infinitesimale
Kugelschale zum gesuchten Fluss beiträgt.
Gruß Al
|
|
|
|
