Flächinhalt unter Bezier Kruve < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich suche nach einer Möglichkeit den Flächeninhalt unter einer Bezier Kruve zuberechnen. Ich weiß nicht ob ich auf dem Richtigen weg bin wenn ich das mit Integralrechung versuche.
Grüße
Stefan
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Gehen wir aus von einer stetig differenzierbaren Parameterdarstellung der Kurve:
[mm]x = \varphi(t) \, , \ \ y = \psi(t) \, ; \ \ t \in [a,b][/mm]
Du sprichst von einem Flächeninhalt "unter der Kurve". Das verstehe ich so, daß die Kurve Graph einer nichtnegativen Funktion sein soll. Dann müssen wir zunächst voraussetzen, daß [mm]\varphi[/mm] umkehrbar ist. So bekommt man, indem man nach [mm]t[/mm] auflöst: [mm]t = \varphi^{-1}(x)[/mm], die Darstellung als Funktion [mm]f[/mm]:
[mm]y = f(x) = \psi \left( \varphi^{-1}(x) \right)[/mm]
Weiter nehmen wir an, daß [mm]f[/mm] und damit auch [mm]\psi[/mm] keine negativen Werte liefert. Dann gibt dir das Integral
[mm]A = \left| \ \int \limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)~\mathrm{d}x \ \right|[/mm]
den gesuchten Flächeninhalt an (die Betragsstriche sind erforderlich, falls [mm]\varphi[/mm] streng monoton fällt). Man kann das wieder in ein Integral über [mm]t[/mm] überführen. Dazu substituiert man
[mm]x = \varphi(t) \, , \ \ f(x) = f \left( \varphi(t) \right) = \psi \left( \varphi^{-1} \left( \varphi(t) \right) \right) = \psi(t) \, ; \ \ \ \mathrm{d}x = \dot{\varphi}(t)~\mathrm{d}t[/mm]
und erhält:
[mm]A = \left| \ \int \limits_a^b \psi(t) \dot{\varphi}(t)~\mathrm{d}t \ \right|[/mm]
Dieses Integral bekommt man, indem man in [mm]\int y~\mathrm{d}x[/mm] rein formal [mm]y[/mm] durch [mm]\psi(t)[/mm] und [mm]x[/mm] durch [mm]\varphi(t)[/mm] substituiert. Ich will aber noch einmal an die Voraussetzungen erinnern: Umkehrbarkeit von [mm]\varphi[/mm] und Nichtnegativität von [mm]\psi[/mm].
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