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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Crispy |
| Aufgabe | Für [mm]n \in \IN[/mm], [mm]n \ge 1[/mm], sei [mm]A_n \subseteq \IR^{2}[/mm] definiert durch
[mm]A_n = \left\{(x,y) \in \IR^{2} \left| x^2+y^2 \le \frac{1}{n^2} \right\}[/mm].
Sei [mm]f: \IR^2 \rightarrow \IR[/mm] stetig. Bestimmen Sie
[mm]\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{\pi} \int_{A_n} f(x,y)d(x,y)[/mm]. |
Hallo,
ich habe ein Problem mit der genannten Aufgabe.
Scheinbar integriert man über einen Kreis mit dem Radius [mm]\frac{1}{n^2}[/mm] um den Nullpunkt.
Die Fläche des Kreises beträgt dann [mm]\frac{\pi}{n^4}[/mm].
Mit umformen habe ich für das Integral noch das heraus:
[mm]\integral_{-\frac{1}{n^2}}^{\frac{1}{n^2}} \left( \integral_{-\wurzel{\frac{1}{n^4}-y^2}}^{\wurzel{\frac{1}{n^4}-y^2}} f(x,y)dx \right)dy[/mm]
Hier weiß ich aber nicht weiter. Rein vom Gefühl her würde ich sagen, dass bei [mm] n \rightarrow \infty [/mm] der Flächeninhalt gegen 0 geht und somit die Integrale auch null werden.
Aber beweisen kann ich's irgendwie nicht.
Danke,
Crispy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Sa 02.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(x,y) stetig bedeutet auch |f(x,y)| nimmt auf einem beschränkten Gebiet sein Max. an. jetzt setzt n>N und M=max(f(x,y)) für [mm] x^2+y^2<1/N^2
[/mm]
dann schätze dein Integral durch [mm] M*A_n [/mm] ab.
(viele Abschätzungen von Integralen laufen so, dass man den Integranden vergrößert!)
Gruss leduart
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