Flächeninhaltsbestimmung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | ft(x)= [mm] \bruch{3t}{t+e^x} [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] t>0
Schaubild sei Kt
Für a>0 umschließt die Kurve Kt mit den Geraden x=a, x=-a und y=3 eine Fläche mit dem Inhalt At(a). Bestimmen Sie At(a). Untersuchen Sie unter Verwendung des obrigen Ergebnisses, ob die zwischen K1 und K4 liegende Fläche einen endlichen Inhalt hat. |
Hallo! Habe mit der oben gestellten Aufgabe ein Problem.
Mein Ansatz war erstmal [mm] \integral_{-a}^{a}{3-f(x) dx} [/mm] zuberechen. So würde ich dann auf [mm] \integral_{-a}^{a}\bruch{3 e^{x}}{t+ e^{x} dx}.
[/mm]
So jetzt kommt bei mir in dieser Teilaufgabe das Hauptproblem. Wie muss ich integrieren sprich wie komme ich auf die Stammfunktion. Das mit den Grenzen einsetzen ,ist für mich kein Problem. Würde es ja mit Substitution machen aber irgendwie haben wir das bisher nur ohne Parameter gemacht und komme daher auf keinen geeigneten Ansatz
Bei der 2.Teil der Aufgabe fehlt mir dann komplett der Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
so würde ich vorgehen:
Wahrscheinlich würde ich das ganz nicht gleichnahmig machen da 3 integriert einfach nur 3x ist und du so noch ein x im Zähler hättest und die Produktintegration möglich wäre (weiß nicht ob du die kennst).
Eventuell würde ich dann den 2. Term integrieren da 1/x integriert lnx ergibt.
Wenn dir der Tip, wenns überhaupt einer ist, nicht reicht, schreib nochmal, dann rechne ich die morgen oder heute abend noch durch und schreib dir dann den Lösungsweg!!!!!
mfg Krisu112
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Fr 28.04.2006 | | Autor: | mathpower |
Produktintegration kenne ich nicht. Da 1/x = ln x ist, ist mir bekannt. Hilft mir aber auch nicht viel weiter. Außerdem gehört das dx hinter den Bruch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Fr 28.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
alles klar, hab momentan nochwas zu tun, schreib dir aber, vorausgesetzt ich kann die lösen, meinem Lösungsvorschlag von deinem Aufgabenteil a sobald ich zeit bekomme, spätestens morgen mittag!!!!
mfg Krisu112
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathpower!
Ziehen wir mal zunächst die $3_$ vor das Integral:
[mm] $\integral_{-a}^{+a}{\bruch{3*e^x}{t+ e^x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 3*\integral_{-a}^{+a}{\bruch{e^x}{t+ e^x} \ dx}$
[/mm]
Und nun haben wir den Sonderfall, dass der Zähler exakt der Ableitung des Nenners entspricht.
Nun kann man also entweder den Nenner substituieren $z \ := \ [mm] t+e^x$ [/mm] , oder aber man wendet hier die entsprechende Regel für diesen Sonderfall an:
[mm] $\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left| \ f(x) \ \right| [/mm] + C$
Bei der 2. Teilaufgabe musst Du nun die beiden Flächen für $t \ = \ 1$ bzw. $t \ = \ 4$ ermitteln und voneinander abziehen (für allgemeines $a_$). Anschließend dann Grenzwertbetrachtung für [mm] $a\rightarrow\infty$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hm von diesen Sonderfall habe ich noch nie was gehört und weis auch nicht wie das so richtig funktionieren soll. Aber muss man dann bei Ln nur noch die Grenzen einsetzen? Also a und -a?
Und beim zweiten Teil meinst du das wohl so:
[mm] \integral_{-a}^{a}{f4(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{-a}^{a}{f1(x) dx} [/mm] ?
Und dann das Ergebnis [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] streben lassen. Und wenn da bei a-> [mm] \infty [/mm] und [mm] -a->\infty [/mm] strebt dann ist der Flächeninhalt wohl nicht endlich sprich unendlich?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 28.04.2006 | | Autor: | ardik |
> Und beim zweiten Teil meinst du das wohl so:
>
> [mm]\integral_{-a}^{a}{f_4(x) dx} - \integral_{-a}^{a}{f_1(x) dx}[/mm]
Im Prinzip sicherlich.
Oft etwas einfacher geht auch: [mm]\integral_{-a}^{a}{\left( f_4(x) - f_1(x) \right) dx}[/mm]
(da brauchst Du nur einmal eine Stammfunktion zu bilden)
Aber: Haben die beiden Kurven evtl. Schnittpunkte (Ich hab's nicht untersucht)?
Dann müsstest Du da "schneiden" wie Du's ja z.B. auch tun musst, wenn Du bei einer Funktion mit Nullstellen die Fläche zwischen Kurve und x-Achse berechnen willst.
Trotz aller Knappheit hoffe ich, auch etwas weiter geholfen zu haben.
Schöne Grüße,
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Fr 28.04.2006 | | Autor: | mathpower |
Zum Teil hast du mir schon weitergeholfen. Aber ist kein Schnittpunkt zwischen beiden Graphen(komme zumindest auf keinen, bzw sehe auch keinen) und es gibt auch keine NST. Also die Graphen streben gegen 3 ohne sich zu berühren und gegen die x-Achse ohne sie zu berühren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathpower!
Wie lautet denn die zu ermittelnde Flächenfunktion [mm] $A_t(a) [/mm] \ = \ [mm] 3*\integral_{-a}^{+a}{\bruch{e^x}{t+e^x} \ dx} [/mm] \ = \ ...$ ?
Dann beträgt die im 2. Abschnitt zu untersuchende Fläche:
[mm] $\Delta [/mm] A(a) \ = \ [mm] A_1(a)-A_4(a) [/mm] \ = \ ...$
Hier dann zunächst zusammenfassen und dann die Grenzwertbetrachtung [mm] $a\rightarrow\infty$.
[/mm]
Dabei musst Du evtl. den  Grenzwertsatz nach de l'Hospital verwenden.
Ich erhalte als Ergebnis auch eine unendliche Fläche : [mm] $\Delta A_\infty [/mm] \ = \ [mm] 3*\ln(4) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 4.16$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Wenn du die Stammfunktion meinst, die habe ich nicht weil ich die Problem mit der Integration habe. Ich würde jetzt die Substitution durchführen.
also z=t+ [mm] e^{x}
[/mm]
z'= [mm] e^{x}
[/mm]
nach dx wäre das dann [mm] dx=dz/e^{x}
[/mm]
So und jetzt weis ich nicht wie ich weiterrechnen muss um die Stammfunktion zu erhalten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo mathpower!
Alles richtig soweit ... nun einsetzen in das Integral:
$\integral{\bruch{e^x}{\red{t+e^x}} \ \blue{dx}} \ = \ \integral{\bruch{e^x}{\red{z}} \ \blue{\bruch{dz}{e^x}} \ = \ \integral{\bruch{1}{z} \ dz} \ = \ ...$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Stammfunktion wäre dann: [ln(t+ [mm] e^{x})] [/mm] mit der oberen Grenze a und unteren Grenze -a. Ist das so jetzt richtig?
|
|
|
| |
|
3*ln(t+ [mm] e^{a})-3*ln(t+e^{-a})
[/mm]
mit den zusammenfassen komme ich nicht so richtig zu rande. aber ich rechne trotzdem mal weiter:
(3*ln(1+ [mm] e^{a})-3*ln(1+e^{-a}))-(3*ln(4+ e^{a})-3*ln(4+e^{-a}))
[/mm]
wobei [mm] \limes_{a\rightarrow\ \p \infty}=0 [/mm] wird und [mm] \limes_{-a\rightarrow\ \m \infty}=0
[/mm]
Aber jetzt stimmt was nicht denn ich komme auf 0 was nach deinem Ergebnis falsch wäre.
|
|
|
| |
|
[mm] e^{a} [/mm] müsste gegen 0 streben dann müsste 3*ln(1/4) übrigbleiben. Wobei man noch Betragsstriche setzen müsste da man sonst eine negative
Fläche bekommt.
Achja noch ne Frage warum muss man A1(a)-A4(a) rechnen und nicht A4(a)-A1(a)?
|
|
|
| |
|
Hm fällt mir jetzt nicht auf warum. Vielleicht weil bei [mm] e^a [/mm] beiden das gleiche rauskommt und damit 1 wird? und dann durch den Logarithmus 0 wird?
|
|
|
| |
|
Hm jetzt hast du mich ein wenig verwirrt. Denn du hattest mal geschrieben das 3*ln 4 rauskommt. Und jetzt kommt 0 raus. was ist denn nun richtig?
Habe mir die Graphen mal im Taschenrechner angeschaut und da verläuft K4 weiter oben als K1.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathpower!
> Hm jetzt hast du mich ein wenig verwirrt. Denn du hattest
> mal geschrieben das 3*ln 4 rauskommt. Und jetzt kommt 0
> raus. was ist denn nun richtig?
Der Wert [mm] $3*\ln(4)$ [/mm] ist ja der gesuchte Gesamtgrenzwert!
Der Wert 0 entsteht ja nur für die beiden Terme [mm] $3*\ln\left(1+e^a\right)-3*\ln\left(4+e^a\right) [/mm] \ = \ [mm] 3*\ln\left(\bruch{1+e^a}{4+e^a}\right)$ [/mm] .
> Habe mir die Graphen mal im Taschenrechner angeschaut und
> da verläuft K4 weiter oben als K1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Völlig richtig! Aber hier ist ja zu bedenken, dass wir hier nicht mit Flächen rechnen, die zwischen Kurve und x-Achse liegen sondern zwischen Kurve und der Geraden $y \ = \ 3$ .
Die gesuchte Fläche ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
... setzt sich ja zusammen aus der ganz großen Fläche von [mm] $K_1$ [/mm] ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
... von der dann wieder die Fläche von [mm] $K_4$ [/mm] wieder abgezogen wird:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Die Aufgabenstellung lautet:"Sie unter Verwendung des obrigen Ergebnisses, ob die zwischen K1 und K4 liegende Fläche einen endlichen Inhalt hat.". Daher hatte ich immer gedacht das die türkise Fläche in der ersten Grafik gemeint ist(was irgendwie so auch rauslese). Und wenn mir jetzt die Grafiken so anschaue heißt das, das die Fläche wohl unendlich ist oder 0. Was muss man dann schreiben? 0 oder unendlich?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:12 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathpower!
> Die Aufgabenstellung lautet:"Sie unter Verwendung des
> obrigen Ergebnisses, ob die zwischen K1 und K4 liegende
> Fläche einen endlichen Inhalt hat.". Daher hatte ich immer
> gedacht das die türkise Fläche in der ersten Grafik gemeint
> ist(was irgendwie so auch rauslese).
Genau diese meine ich auch ...
> Und wenn mir jetzt die Grafiken so anschaue heißt das, das die Fläche
> wohl unendlich ist oder 0.
Naja, "Null" kann ja nicht stimmen, da Du ja deutlich eine schraffierte Fläche siehst, oder?
Von daher kann ja nur stimmen: "unendlich" oder ein anderer (fester) Wert.
Und da haben wir doch nun gezeigt, dass für die gesuchte Fläche gilt:
$A \ = \ [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\left[ \ \blue{A_1(a)}-\red{A_4(a)} \ \right]$
[/mm]
$= \ [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\left[ \ \blue{3a+3*\ln\left(\bruch{1+e^a}{1+1*e^a}\right)} - \left(\red{3a+3*\ln\left(\bruch{4+e^a}{1+4*e^a}\right)}\right)\right]$
[/mm]
$= \ [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\left[ \ 3a+3*\ln\left(1\right) - 3a-3*\ln\left(\bruch{4+e^a}{1+4*e^a}\right)\right]$
[/mm]
$= \ [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\left[ \ 3*0-3*\ln\left(\bruch{4+e^a}{1+4*e^a}\right)\right]$
[/mm]
$= \ [mm] (-3)*\limes_{a\rightarrow\infty}\ln\left(\bruch{4+e^a}{1+4*e^a}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] (-3)*\limes_{a\rightarrow\infty}\ln\left(\bruch{\blue{e^a}*\left(4e^{-a}+1\right)}{\blue{e^a}*\left(1*e^{-a}+4\right)}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] (-3)*\limes_{a\rightarrow\infty}\ln\left(\bruch{\blue{1}*\left(4e^{-a}+1\right)}{\blue{1}*\left(1*e^{-a}+4\right)}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] (-3)*\limes_{a\rightarrow\infty}\ln\left(\bruch{4e^{-a}+1}{1*e^{-a}+4}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] (-3)*\ln\left(\bruch{4*\red{0}+1}{1*\red{0}+4}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] (-3)*\ln\left(\bruch{1}{4}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] (-3)*\left[ \ \ln(1)-\ln(4) \ \right]$
[/mm]
$= \ [mm] (-3)*\left[ \ 0-\ln(4) \ \right]$
[/mm]
$= \ [mm] (-3)*(-1)*\ln(4)$
[/mm]
$= \ [mm] 3*\ln(4) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 4.16$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Sa 29.04.2006 | | Autor: | mathpower |
Danke das du dir die Mühe gemachst mir zu helfen und am es Ende nochmal zusammengefasst hast. Auch danke an die anderen die mir auch helfen wollten.
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Gegen welche Werte streben denn die beiden Ausdrücke [mm] $\limes_{a\rightarrow\infty}\ln\left(1+e^{-a}\right)$ [/mm] bzw. [mm] $\limes_{a\rightarrow\infty}\ln\left(4+e^{-a}\right)$ [/mm] ?
