Flächeninhalt unendlich? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Do 30.11.2006 | | Autor: | Kristien |
Hallo, wir sprechen in der Schule gerade über das Problem, dass es Funktionen gibt, die die x-Achse als Asymptote haben, aber vom Intervall x=1 bis x= unendlich trotzdem einen grenzwert im Flächeninhalt zw.Graph und x-Achse aufzeigen also nicht unendlich sind.
Wir haben angefangen, zu bestimmen, was der flächeninhalt von 1 bis z(unendlich/variable) ist, wenn z gegen unendlich geht!
Z.B. für f(x)= [mm] \bruch{1}{x^5}
[/mm]
NR1= FLÄCHENINHALT VON 1 BIS Z gegen UNENDLICH
NR2= FLÄCHENINHALT VON 1 BIS V gegen 0
NR1
Also [mm] integral_{1}^{z}x^{-5} [/mm] ,dx = [mm] [-\bruch{1}{4}* \bruch{1}{x^4}]= -\bruch{1}{4}*z^{-4}+\bruch{1}{4} [/mm] für z gegen unendlich: [mm] \bruch{1}{4}-unendlich
[/mm]
NR2
[mm] integral_{1}^{v} \bruch{1}{x^5}, [/mm] dx [mm] =[-\bruch{1}{4}* \bruch{1}{x^4}]= \bruch{1}{4}* \bruch{1}{v^4}- \bruch{1}{4} [/mm] für v gegen 0 = [mm] -\bruch{1}{4}+unendlich.
[/mm]
Nun sollen wir folgende funktionen genauso untersuchen: [mm] a)f(x)=\bruch{1}{x^2}
[/mm]
b)F8x)= [mm] \bruch{1}{x^0,5} [/mm] c) f(x)= x^(-0,75) d) f(x)= [mm] \bruch{1}{x^1,5} [/mm] e) [mm] f(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
Also ich schreibe mal auf, was ich herausbekommen habe. Ich denke aber, dass da so einige Fehler
drin sind. Könnte mir jeman sagen, was die richtige Lösung ist?
a)NR1: 1-unendlich ; NR2) 1+unendlich
b)Nr1)200000-2 Nr2: -2
c)Nr1: -4+unendlich NR2: -4
d)Nr:1 : -2+unendlich Nr2: -2
e) KEINE AHNUNG
Könntest Du mir sagen, ob wenigstens die ersten richtig sind und wie e Funktioniert?
Danke
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Hallo!!! Also ich zeige die mal e) vor!!
[mm] f(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
=> [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x}
dx} [/mm] = [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}\integral_{1}^{z}{\bruch{1}{x}dx}=
[/mm]
= [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}(ln(z)-ln(1)) [/mm] =
= [mm] \limes_{z\rightarrow\infty} [/mm] ln(z) = unendlich, da ln(1)=0 und der ln für unendlich große Zahlen gegen unendlich geht.
Zu a.) bei dieser aufgabe hast du den grenzwert falsch gemacht. Du musst aufpassen:
[mm] \limes_{z\rightarrow\infty} [/mm] 1/4 = 1/4
Also kommt 1/4 heraus. Jede Konstante Zahl kannst du vor den Grenzwert hinschreiben bzw. wenn der Grenzwert auf keine Variable wirkt macht er gar nichts  !!
Melde dich falls du noch weitere Fragen hast.
Mfg daniel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:19 Do 30.11.2006 | | Autor: | Kristien |
Hallo, ist für e) also für v gegen 0 auch unendlich? Und zwar aus dem selben grund wie auch z gegen unendlich =unendlich ist?
Sind b), c), d) denn alle richtig?
Wieso ist a) Falsch? Bei a kommt noch niegends bruch{1}{4} vor!
Die Funktion lautet: [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2} [/mm]
Wäre nett, wenn mir jemand sagt, ob ich die anderen auch richtig gerechnet habe. Dankeschön.
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Hallo Kristien,
> Hallo, wir sprechen in der Schule gerade über das Problem,
> dass es Funktionen gibt, die die x-Achse als Asymptote
> haben, aber vom Intervall x=1 bis x= unendlich trotzdem
> einen grenzwert im Flächeninhalt zw.Graph und x-Achse
> aufzeigen also nicht unendlich sind.
>
> Wir haben angefangen, zu bestimmen, was der flächeninhalt
> von 1 bis z(unendlich/variable) ist, wenn z gegen unendlich
> geht!
>
> Z.B. für f(x)= [mm]\bruch{1}{x^5}[/mm]
> NR1= FLÄCHENINHALT VON 1 BIS Z gegen UNENDLICH
> NR2= FLÄCHENINHALT VON 1 BIS V gegen 0
>
> NR1
>
> Also [mm]\integral_{1}^{z}{x^{-5}\ dx} = \left[-\bruch{1}{4}* \bruch{1}{x^4}\right]_{1}^{z}= -\bruch{1}{4}*z^{-4}+\bruch{1}{4}[/mm]
> für z gegen unendlich: [mm]\bruch{1}{4}-unendlich[/mm]
mit [mm] \infty [/mm] kann man nicht rechnen!
[mm] \limes_{z\to\infty}{-\bruch{1}{4}*z^{-4}+\bruch{1}{4}}=0+\bruch{1}{4}=+\bruch{1}{4}
[/mm]
wenn du für z immer größere Zahlen einsetzt, wird [mm] \frac{1}{z} [/mm] immer kleiner!
>
> NR2
>
> [mm]integral_{1}^{v} \bruch{1}{x^5},[/mm] dx [mm]=[-\bruch{1}{4}* \bruch{1}{x^4}]= \bruch{1}{4}* \bruch{1}{v^4}- \bruch{1}{4}[/mm]
> für v gegen 0 = [mm]-\bruch{1}{4}+unendlich.[/mm]
[mm] \limes_{v\to 0}{(-\bruch{1}{4}*z^{-4}+\bruch{1}{4})} \to -\infty [/mm] weil der erste Bruch über alle Maßen (negativ) anwächst, da spielt der zweite Bruch keine Rolle mehr.
>
> Nun sollen wir folgende funktionen genauso untersuchen:
> [mm]a)f(x)=\bruch{1}{x^2}[/mm]
> b)F8x)= [mm]\bruch{1}{x^0,5}[/mm] c) f(x)= x^(-0,75) d) f(x)=
> [mm]\bruch{1}{x^1,5}[/mm] e) [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Also ich schreibe mal auf, was ich herausbekommen habe. Ich
> denke aber, dass da so einige Fehler
> drin sind. Könnte mir jeman sagen, was die richtige Lösung
> ist?
> a)NR1: 1-unendlich ; NR2) 1+unendlich
mit unendlich kann man ncht rechnen!
schreib mal deine Umformungen auf - analog zu meinen Rechnungen (mit dem Formeleditor, damit man's besser lesen kann...
> b)Nr1)200000-2 Nr2: -2
> c)Nr1: -4+unendlich NR2: -4
> d)Nr:1 : -2+unendlich Nr2: -2
> e) KEINE AHNUNG
>
> Könntest Du mir sagen, ob wenigstens die ersten richtig
> sind und wie e Funktioniert?
> Danke
>
Gruß informix
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