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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:37 Di 08.04.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Flächeninhalt im Intervall [1;4] von folgender Randfunktion:
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
x² & \mbox{für } 0 \le x \le 2 \\
4 & \mbox{für } x > 2
\end{matrix}\right. [/mm] |
Hallo Zusammen,
somit muss man das Intervall [1;4] in zwei Teilintervalle [1;2] und [2;4] aufteilen, es ergibt sich:
[mm] F_1(4) [/mm] = [mm] F_1(2) [/mm] + [mm] F_2(4)
[/mm]
wobei [mm] F_1(2) [/mm] für f(x) = x² und [mm] F_2(4) [/mm] für f(x) = 4 gilt. Im Buch steht allerdings [mm] F_2(4) [/mm] für f(x) = 2. Laut Aufgabenstellung, müsste doch aber f(x) = 4 verwendet werden, oder?
[mm] F_1(2) [/mm] = [mm] F_0(2) [/mm] - [mm] F_0(1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \cdot{} [/mm] 2³ - [mm] \bruch{1}{3} \cdot{} [/mm] 1³ = 2 [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] F_2(4) [/mm] = 4 [mm] \cdot{} [/mm] 2 = 8
Wenn ich bei [mm] F_2(4) [/mm] für f(x) = 4 ausgehe, muss ich, die obere Grenze minus die untere Grenze rechnen. Im Buch stand jedoch das [mm] F_2(4) [/mm] für f(x) = 2, somit könnte man einfach die obere Grenze [mm] (x_0) [/mm] verwenden. Steht deswegen im Buch [mm] F_2(4) [/mm] für f(x) = 2, das man [mm] x_0 [/mm] verwenden kann?
also [mm] F_1(4) [/mm] = 2 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + 8 = 10 [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Vielen Dank, itse.
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> Bestimmen Sie den Flächeninhalt im Intervall [1;4] von
> folgender Randfunktion:
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
x² & \mbox{für } 0 \le x \le 2 \\
4 & \mbox{für } x > 2
\end{matrix}\right.[/mm]
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> Hallo Zusammen,
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> somit muss man das Intervall [1;4] in zwei Teilintervalle
> [1;2] und [2;4] aufteilen, es ergibt sich:
Hallo,
bitte entschuldige, daß ich auf das, was Du schreibst, nicht im einzelnen eingehe,
Ich zeige Dir, wie ich das lösen und aufschreiben würde, vielleicht klären sich damit Deine Fragen.
Berechnet werden soll
[mm] \integral_{1}^{4}{f(x) dx}, [/mm]
und Du hast richtig erkannt, daß man das wegen der abschnittweisen Def. der Funktion f in zwei Teile zerlegt:
[mm] \integral_{1}^{4}{f(x) dx}=\integral_{1}^{2}{f(x) dx}+\integral_{2}^{4}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{1}^{2}{x^2 dx}+\integral_{2}^{4}{4dx}.
[/mm]
Eine Stammfunktion für [mm] f_1(x)=x^2 [/mm] ist [mm] F_1(x)=\bruch{1}{3}x^3,
[/mm]
für [mm] f_2(x)=4 [/mm] ist [mm] F_2(x)=4x [/mm] eine Stammfunktion.
Also ergibt sich
...= [mm] [\bruch{1}{3}x^3]_{1}^{2} [/mm] + [mm] [4x]_{2}^{4}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{3}*2^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*1^3) [/mm] +(4*4 - [mm] 4*2)=10\bruch{1}{3}
[/mm]
Gruß v. Angela
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