Flächeninhalt der Bildmenge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Hier noch eine Aufgabe aus der letzten Nachklausur:
Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Bildmenge [mm] \Psi(K), [/mm] wobei
[mm] K=\{(r,\theta), \theta\in[-\bruch{\pi}{3},\bruch{\pi}{3}], 0\le r\le1+2\cos{\theta}\}
[/mm]
und [mm] \Psi:\IR_{+}\times[-\pi,\pi]\to\IR^2 [/mm] gegeben ist durch
[mm] (r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta).
[/mm]
Ich habe dann (glaube ich ungefähr) folgendes gemacht:
Nach dem Transformationssatz gilt:
[mm] \integral_{\Psi(K)}f(r,\theta)d\mu [/mm] = [mm] \integral_{K}f(\Psi(r,\theta))|det \Psi'(r,\theta)|d\mu
[/mm]
NR: [mm] |det\Psi'(r,\theta)|=r\cos^2(\theta)+r\sin^2(\theta)=r
[/mm]
hier ist f=1 (stimmt das? ich meine damit die charakteristische Einsfunktion, ich weiß allerdings nicht, was da als "Index" noch hingehört...)
also ist das obige
[mm] =\integral_{K}1_{\Psi(r,\theta)}*r d\mu [/mm] = [mm] \integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{3}}\integral_0^{1+2\cos\theta}1_{\Psi(r,\theta)}*r dr\;d\theta
[/mm]
und weiter wusste ich dann glaube ich nicht mehr...
Ich möchte nicht unbedingt einen kompletten Rechenweg. Ist das denn soweit hier überhaupt richtig? Und vielleicht einen Tipp, wie ich das jetzt weiter berechnen könnte? Irgendwie stört mich da diese Einsfunktion...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
| |
|
Hallo Bastiane,
> hier ist f=1 (stimmt das? ich meine damit die
> charakteristische Einsfunktion, ich weiß allerdings nicht,
> was da als "Index" noch hingehört...)
In der Tat f ist die Einsfunktion.
> also ist das obige
> [mm]=\integral_{K}1_{\Psi(r,\theta)}*r d\mu[/mm] =
> [mm]\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{3}}\integral_0^{1+2\cos\theta}1_{\Psi(r,\theta)}*r dr\;d\theta[/mm]
>
> und weiter wusste ich dann glaube ich nicht mehr...
>
Zunächst integrierst Du über r und setzt dann die Integrationsgrenzen ein. wobei es sich hier empfiehlt Additionstheoreme für die weitere Berechnung zu verwenden.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo MathePower!
> > hier ist f=1 (stimmt das? ich meine damit die
> > charakteristische Einsfunktion, ich weiß allerdings nicht,
> > was da als "Index" noch hingehört...)
>
> In der Tat f ist die Einsfunktion.
>
> > also ist das obige
> > [mm]=\integral_{K}1_{\Psi(r,\theta)}*r d\mu[/mm] =
> >
> [mm]\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{3}}\integral_0^{1+2\cos\theta}1_{\Psi(r,\theta)}*r dr\;d\theta[/mm]
>
> >
> > und weiter wusste ich dann glaube ich nicht mehr...
> >
>
> Zunächst integrierst Du über r und setzt dann die
> Integrationsgrenzen ein. wobei es sich hier empfiehlt
> Additionstheoreme für die weitere Berechnung zu verwenden.
Okay - die Additionstheoreme hätte ich in der Klausur wohl sowieso nicht auswendig gewusst... Aber wie integriere ich denn die Einsfunktion? Und stimmt der "Index" denn da überhaupt?
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Den Index an der $1$-Funktion kannst du dir sparen; es ist hier einfach die konstante Funktion $f(x)=1$.
> > [mm]\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{3}}\integral_0^{1+2\cos\theta}1_{\Psi(r,\theta)}*r dr\;d\theta[/mm]
Somit ist das hier:
[mm] $\int\limits_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \int\limits_0^{1+2\cos(\theta)} [/mm] r [mm] \, [/mm] dr [mm] \, d\theta$
[/mm]
$= [mm] \int\limits_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \left[ \frac{1}{2}r^2 \right]_0^{1+2\cos(\theta)}\, d\theta$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} (1+2\cos(\theta))^2\, d\theta$
[/mm]
$= [mm] \ldots$
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
(zum Ausrechnen habe ich jetzt keine Lust mehr 
)
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
