Flächeninhalt bestimmen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mi 24.11.2010 | | Autor: | jorgel18 |
| Aufgabe | | Für welche Zahl a>0 hat die Fläche zwischen den Parabeln mit den Vorschriften f(x) = [mm] -ax^2 [/mm] + x/a und g(x) = [mm] ax^2 [/mm] - ax den kleinsten Inhalt? |
Hallo!
In Mathe bin ich schon immer schlecht gewesen und bin daher auch im (Unter)Grundkurs, wo es recht gemütlich zugeht. Aber jetzt müssen wir diese Aufgabe rechnen, die viel zu schwer für uns ist.
Ich dachte mir, man müsse vielleicht zuerst die Schnittpunkte der Parabeln ermitteln, aber leider weiß ich nichtmal, wie man das macht. Vielleicht muss man die beiden Funktionen aufleiten?
Auf jeden Fall bin ich momentan überfordert, also vielleicht kann mir ja jemand Tipps geben, wie man denn an diese Aufgabe herangehen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für welche Zahl a>0 hat die Fläche zwischen den Parabeln
> mit den Vorschriften f(x) = [mm]-ax^2[/mm] + x/a und g(x) = [mm]ax^2[/mm] -
> ax den kleinsten Inhalt?
> Hallo!
> In Mathe bin ich schon immer schlecht gewesen und bin
> daher auch im (Unter)Grundkurs, wo es recht gemütlich
> zugeht. Aber jetzt müssen wir diese Aufgabe rechnen, die
> viel zu schwer für uns ist.
>
> Ich dachte mir, man müsse vielleicht zuerst die
> Schnittpunkte der Parabeln ermitteln, aber leider weiß ich
> nichtmal, wie man das macht.
mach' Dir vor allem mal eine Skizze. In der Tat ist es sinnvoll, die Schnittpunkte der Parabeln zu ermitteln.
Erinnerung: Wenn Du eine Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] hast, dann heißt die Punktmenge [mm] $G_f:=\{(x,f(x)):x \in \IR\} \subseteq \IR^2$ [/mm] der Graph von [mm] $f\,.$ [/mm] Das ist das, was Euer Lehrer skizziert, wenn er sagt, dass er "die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] zeichnet". Es sind aber eigentlich Paare (genauer: Punkte) im zweidimensionalen (kartesischen) Koordinatensystem, aus denen dieser Graph besteht.
Wenn Du nun zwei Funktionen [mm] $f,\;g$ [/mm] zeichnest (genauer also: den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] und den Graphen von [mm] $g\,$), [/mm] so erkennst Du, dass "die Schnittstellen [mm] $x_S$ [/mm] der Funktionen" dadurch ausgezeichnet sind, dass dort gilt, dass die [mm] $y-\,$Werte [/mm] (das sind die "zweiten Koordinaten" in den "Graphenmengen") miteinander übereinstimmen. Also:
Dort gilt [mm] $f(x_S)=g(x_S)\,.$ [/mm] Im Allgemeinen wird man noch nicht wissen, wie viele solcher Schnittstellen [mm] $x_S$ [/mm] es geben wird - außerdem ist das Mitschleppen des "Index $_S$" auch ein wenig lästig. Daher setze einfach [mm] $f(x)=g(x)\,$ [/mm] und versuche, diese Gleichung nach [mm] $x\,$ [/mm] aufzulösen (dazu wirst Du hier die pq-Formel brauchen, und i.a. wird es hier zwei Lösungen dieser so entstandenen Gleichung geben - die Lösungen werden abhängig vom Parameter [mm] $a\,$ [/mm] sein). Wenn Du nun die Schnittstellen [mm] $x_1, x_2$ [/mm] gefunden hast (in Abhängigkeit von [mm] $a\,$), [/mm] so kannst Du Dir überlegen, wie Du mithilfe der Funktion [mm] $h(x):=f(x)-g(x)\,$ [/mm] den gesuchten Flächeninhalt [mm] $A\,$ [/mm] (der auch von [mm] $a\,$ [/mm] abhängig sein wird: also [mm] $A=A(a)\,$) [/mm] ausdrücken kannst (beachte, dass es vielleicht günstiger sein kann, anstelle von [mm] $h\,$ [/mm] die Funktion [mm] $|h|\,$ [/mm] zu benutzen).
P.S.:
Anstatt des wohl in der Schule gebräuchlichen, aber total unmathematischen und verunstalteten Wortes "aufleiten" solltest Du lieber von integrieren sprechen.
P.P.S.:
Mach' Dir vor allem eine Skizze. Wenn Dir das ganze mit dem "Parameter [mm] $a\,$" [/mm] zu schwierig erscheint, dann rechne doch erst mal den Flächeninhalt zwischen [mm] $f=f_a\,$ [/mm] und [mm] $g=g_a$ [/mm] (beachte: eigentlich sollte man den Parameter [mm] $a\,$ [/mm] mitindizieren, da [mm] $f\,$ [/mm] für verschiedene [mm] $a\,$ [/mm] auch anders aussieht!) für spezielle Werte von [mm] $a\,$, [/mm] z.B. [mm] $a=2\,,$ [/mm] aus. Dann merkst Du vielleicht auch, wie man hier eigentlich vorgeht - und dass man im Prinzip für jedes andere [mm] $a\,$ [/mm] genauso vorgehen würde - und wie dann [mm] $A(a)\,$ [/mm] zustandekommt.
Viele Grüße,
Marcel
> Vielleicht muss man die beiden
> Funktionen aufleiten?
>
> Auf jeden Fall bin ich momentan überfordert, also
> vielleicht kann mir ja jemand Tipps geben, wie man denn an
> diese Aufgabe herangehen könnte.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Sa 27.11.2010 | | Autor: | jorgel18 |
Also, ich habe das mal mit einem Kumpel probiert. Weit gekommen sind wir aber nicht! Wir haben also die Funktionen gleichgesetzt und dann versucht, sie nach x aufzulösen.
Jetzt haben wir diese Zeile erhalten [mm] -2a^2 x^2 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] x + x = 0
Wir wollten die pq-Formel nutzen, doch jetzt ist da die 2 am Anfang, die uns Probleme bereitet.
Nun stecken wir schon wieder fest! Kann jemand einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Sa 27.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Also, ich habe das mal mit einem Kumpel probiert. Weit
> gekommen sind wir aber nicht! Wir haben also die Funktionen
> gleichgesetzt und dann versucht, sie nach x aufzulösen.
> Jetzt haben wir diese Zeile erhalten [mm]-2a^2 x^2[/mm] + [mm]a^2[/mm] x + x
> = 0
> Wir wollten die pq-Formel nutzen, doch jetzt ist da die 2
> am Anfang, die uns Probleme bereitet.
Na, das ist ja immerhin besser, als einfach loszurechnen.
Teile erst die Gleichung durch [mm] (-2a^2), [/mm] dann hast du die für die pq-Formel erforderliche Normalform.
Gruß Abakus
> Nun stecken wir schon wieder fest! Kann jemand einen Tipp
> geben?
Halt! Ich habe zu spät gesehen, dass die pq-Formel gar nicht nötig ist, da q=0 gilt.
Klammert aus dem gesamten Term einfach x aus und schaut, wann das entstehende Produkt 0 wird.
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