Flächeninhalt Hypozykloide < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 So 06.01.2013 | | Autor: | servik |
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Wie kann ich die Formel für den Flächeninhalt einer Hypozykloide
[mm] A=\bruch{(n-1)*(n-2)}{n^{2}}*\pi*a^2 [/mm] speziell [mm] A=2*a^2*\pi [/mm] herleiten. Wobei a der Radius des Großkreises ist und b des Kleinen Kreises, der im Inneren abrollt. Ich habe den Tipp bekommen, dass man es mit dem Satz von Green oder Gaußschem Integralsatz machen kann. Kann mir jemand helfen??
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Damit man überhaupt sinnvoll von einer Fläche sprechen kann, sollte [mm]\frac{a}{b}[/mm] eine natürliche Zahl [mm]\geq 3[/mm] sein. Dann hätten wir für die Hypozykloide die Parameterdarstellung
[mm]x = (a-b) \sin t - b \, \sin \left( \left( \frac{a}{b} - 1 \right) \cdot t \right) \, , \ y = (a-b) \cos t - b \, \cos \left( \left( \frac{a}{b} - 1 \right) \cdot t \right) \, ; \ \ t \in [-\pi,\pi][/mm]
Es sei [mm]A[/mm] die von der Hypozykloide umrandete Fläche, [mm]\partial A[/mm] ihr positiv orientierter Rand, also die Zykloide selbst mit obiger Parameterdarstellung (jene ist allerdings negativ orientiert).
Die Differentialform [mm]\omega = x ~ \mathrm{d}y[/mm] hat die äußere Ableitung [mm]\mathrm{d} \omega = \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y[/mm]. Nach dem Satz von Stokes (in diesem Spezialfall wäre das der Satz von Gauß) kann man den Flächeninhalt [mm]F[/mm] von [mm]A[/mm] folgendermaßen berechnen:
[mm]F = \int_A \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = \int_A \mathrm{d} \omega = \int_{\partial A} \omega = \int_{\partial A} x ~ \mathrm{d}y[/mm]
Und damit hat man zur Bestimmung von [mm]F[/mm] nur noch ein Kurvenintegral zu bestimmen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:01 Mi 09.01.2013 | | Autor: | servik |
Danke für den Tipp. Kann mir jemand noch mal einen Tipp geben, wie man die Schnittpunkte der Hypozykloide bestimmen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Fr 11.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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