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| Aufgabe | Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC
A(1/1/1) B(7/4/7) C(5/6/-1) |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Diese Aufgabe bereitet mir ein paar Probleme, da ich nicht weiß, ob meine Vorgehensweise richtig ist.
Zur Beschreibung meines Dreiecks:
C
A B
Ich habe erstmal eine Geradengleichung aufgestellt:
[mm] g:\vec{x}=\vec{a}+\lambda*(\vec{b}-\vec{a})
[/mm]
[mm] \vec{x}= \vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\lambda*\vektor{6 \\ 3 \\ 6}
[/mm]
Kann ich dann einfach Punkt C für meine Normalengleichung nehmen?
[mm] \vec{n}*(\vec{x}-\vec{a})=0
[/mm]
[mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 6}*(\vec{x}-\vektor{5 \\ 6 \\ -1})=0
[/mm]
= [mm] 6x_{1}+3x_{2}+6x_{3}-42
[/mm]
Oder kommt da +42 raus?
Dann splitte ich die GG in 3 Gleichungen auf:
[mm] x_{1}=1+6\lambda
[/mm]
[mm] x_{2}=1+3\lambda
[/mm]
[mm] x_{3}=1+6\lambda
[/mm]
Dann setze ich das in die KF ein. Stimmt das denn soweit?
Liebe Grüße,
Sarah 
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Hallo weduwe ,
> [mm]E_C: (\vec{x}-\vektor{5\\6\\-1})\vektor{2\\1\\2}=0[/mm]
> diese
> ebene schneidest du nun mit deiner geraden (trägergerade
> der seite C) und du bekommst den punkt [mm]H_c[/mm]
Das muss ich kurz aufdröseln:
Wie kommst du an den Vektor (2/1/2)?
Was ist eine Trägergerade? Muss ich eine Gerade aufstellen? Wenn ja, wie?
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo Abakus ,
Wir sollen nichts mit dem Sinus machen!
Der Sinn dieser Aufgabe ist die "Klassische" Abstandberechung zu üben, wie wir sie in der Schule machen.
Aber wie kommt man denn nun auf den Vektor (2/1/2)?
Kannst du mir das vielleicht noch kurz erklären?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Nicodemus |
Hallo Espritgirl?
Es ist unklar, welche Vorgehensweise Du vorhast!
(1) Am einfachsten ist es, die Gerade AB zu bestimmen und den Abstand d von C zu dieser Graden. [mm] \overline{AB} [/mm] ist dann die Grundlinie , d die Höhe.
Damit ist die Fläche klar!
(2) Oder willst Du die Lotebene durch AB bestimmen, deren Normalvektor durch C geht? Den Abstand von C erhält man dann aus der Normalen-/Koordinartenform der Ebene!
ok?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Do 28.08.2008 | | Autor: | Nicodemus |
Hallo Espritgirl!
Dein Ansatz liefert nicht die gewünschte Ebene!
Die gesuchte Lotebene L durch AB zur Dreiecksebene ABC ist
L: [mm] x_{1}+2x_{2}-2x_{3}-1 [/mm] = 0
Aus der Hesseform von L lässt sich der Abstand d von C ausrechnen. Es gilt d=6. Zusammen mit |AB| = 9 folgt die Fläche zu 27!
Diese Lösung ist aber kompliziert, da Du hier erst die Lotebene L ausrechnen musst! Viel einfacher ist hier die Anwendung des Vektorprodukts.
[mm] |\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}| [/mm] liefert hier die Fläche des Parallelogramms, die Hälfte wäre dann die gesuchte Dreiecksfläche!
ok?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Mi 27.08.2008 | | Autor: | weduwe |
> > Hallo weduwe ,
> >
> >
> > > [mm]E_C: (\vec{x}-\vektor{5\\6\\-1})\vektor{2\\1\\2}=0[/mm]
> >
> >
> > diese
> > > ebene schneidest du nun mit deiner geraden (trägergerade
> > > der seite C) und du bekommst den punkt [mm]H_c[/mm]
> >
> > Das muss ich kurz aufdröseln:
> >
> > Wie kommst du an den Vektor (2/1/2)?
> >
> > Was ist eine Trägergerade? Muss ich eine Gerade aufstellen?
> > Wenn ja, wie?
> >
> >
> >
> > Liebe Grüße,
> >
> > Sarah
> >
> Hallo, warum so kompliziert?
> Die Flächeninhaltsformel für ein beliebiges Dreieck lautet
> A=0,5*(1. Seite)*(2. Seite)* (Sinus des Winkels zwischen
> diesen zwei Seiten)
>
> Aus den gegeben Koordinaten kannst du die Länge aller drei
> Seiten berechnen und mit dem Kosinussatz dann einen der
> drei Winkel bestimmen.
> Gruß Abakus
warum dann nun so kompliziert, dann verwendet man gleich das vektorprodukt.
[mm] A=\frac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|
[/mm]
da [mm] \vektor{2\\1\\2}=\lambda\vektor{6\\3\\6} [/mm] mit [mm] \lambda=3, [/mm] sind beide vektoren normalenvektoren derselben ebene,
und mit kleineren zahlen läßt sich halt "fehlerfreier" rechnen.
du kannst natürlich auch mit dem 2. vektor arbeiten und anschließend durch 3 dividieren.
trägergerade nennt man die gerade, die eine strecke, hier die seite c, enthält, die hast du ja bereits aufgestellt.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
