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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Fr 16.11.2012 | | Autor: | DonC |
| Aufgabe | S:= ((x,y,z)[mm]\in\IR^{3} [/mm] : [mm] x²+y²\le1 [/mm] und [mm] z=\frac{1}{3}x^3-xy^2)
[/mm]
Bestimmen sie den Flächeninhalt von S. |
Hallo,
Ich arbeite mit dem Ansatz "Integration über Flächenstücke im Raum". D.h. ich parametrisiere das Flächenstück zu [mm] \Phi=\vektor{x \\ y \\ \frac{1}{3}x^3-xy^2)} [/mm] und bilde [mm] |\Phi_{x}x\Phi_{y}|. [/mm] Das ergibt allg. bei Funktionen [mm] \sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1} [/mm] und somit hier, nach Vereinfachungen [mm] \sqrt{1+(x^2+y^2)^2}. [/mm] Nun habe ich um die Fläche F(S) zu erhalten das Integral [mm] \integral\integral_{\overline{J}}|\Phi_{x}x\Phi_{y}|dxdy= \integral\integral_{\overline{J}}\sqrt{1+(x^2+y^2)^2}dxdy [/mm] aufgestellt. Nun kommt der Punkt, bei welchem ich mir nicht mehr ganz sicher bin. Ich habe das Integral auf Polarkoordinaten transformiert, mit [mm] x=cos\varphi [/mm] , [mm] y=sin\varphi. [/mm] Die Funktionaldeterminante [mm] (det(J\psi(r,\varphi)) [/mm] ist bei Polarkoodrinaten gerade der Radius r und bei obigem Integral steht [mm] (x^2+y^2)^2\hat [/mm] = r. Also komme ich auf folgendes Integral [mm] \integral\integral_{\overline{J}}{\sqrt{1+r^2}*r d\varphi dr} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{1+r^2}*r d\varphi dr}}. [/mm] Hier kann etwas nicht stimmen da ein Hinweis gebeben ist, dass man das [mm] \integral{\sqrt{1+r^2}dr} [/mm] mithilfe der Substitution r=sinh(t) lösen kann. In der Aufgabenstellung ist ja gegeben, dass r=1 ist. Das darf ich jetzt aber nicht für nur ein r einsetzen? Sind das zwei verschiedene Radien? Kann mir jemand weiterhelfen?
Mfg DonC
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Sa 17.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> S:= ((x,y,z)[mm]\in\IR^{3}[/mm] : [mm]x²+y²\le1[/mm] und
> [mm]z=\frac{1}{3}x^3-xy^2)[/mm]
> Bestimmen sie den Flächeninhalt von S.
> Hallo,
> Ich arbeite mit dem Ansatz "Integration über
> Flächenstücke im Raum". D.h. ich parametrisiere das
> Flächenstück zu [mm]\Phi=\vektor{x \\ y \\ \frac{1}{3}x^3-xy^2)}[/mm]
> und bilde [mm]|\Phi_{x}x\Phi_{y}|.[/mm] Das ergibt allg. bei
> Funktionen [mm]\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}[/mm] und somit hier,
> nach Vereinfachungen [mm]\sqrt{1+(x^2+y^2)^2}.[/mm] Nun habe ich um
> die Fläche F(S) zu erhalten das Integral
> [mm]\integral\integral_{\overline{J}}|\Phi_{x}x\Phi_{y}|dxdy= \integral\integral_{\overline{J}}\sqrt{1+(x^2+y^2)^2}dxdy[/mm]
> aufgestellt. Nun kommt der Punkt, bei welchem ich mir nicht
> mehr ganz sicher bin. Ich habe das Integral auf
> Polarkoordinaten transformiert, mit [mm]x=cos\varphi[/mm] ,
> [mm]y=sin\varphi.[/mm] Die Funktionaldeterminante
> [mm](det(J\psi(r,\varphi))[/mm] ist bei Polarkoodrinaten gerade der
> Radius r und bei obigem Integral steht [mm](x^2+y^2)^2 = r[/mm].
Falsch: [mm](x^2+y^2)^2 = r^{{\red{4}}[/mm].
> Also komme ich auf folgendes Integral
> [mm]\integral\integral_{\overline{J}}{\sqrt{1+r^2}*r d\varphi dr}[/mm]
[mm]\integral\integral_{\overline{J}}{\sqrt{1+r^{{\red{4}}}}*r d\varphi dr}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{1+r^2}*r d\varphi dr}}.[/mm]
[mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{1+r^{{\red{4}}}}*r d\varphi dr}[/mm]
> Hier kann etwas nicht stimmen da ein Hinweis gebeben ist,
> dass man das [mm]\integral{\sqrt{1+r^2}dr}[/mm] mithilfe der
> Substitution r=sinh(t) lösen kann.
Ja, substituiere zunächst [mm] $z=r^2$, [/mm] was auf [mm]\integral{\sqrt{1+z^2}dz}[/mm] führt.
> In der Aufgabenstellung
> ist ja gegeben, dass r=1 ist.
Das stimmt nicht. Dort steht nur [mm] $x^2+y^2\le [/mm] 1$, also $r<1$. Genau deswegen integrierst du doch über r.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Sa 17.11.2012 | | Autor: | DonC |
Hallo Rainer,
danke für deine Antwort. Sie hat mir sehr weitergeholfen. Somit komme ich, nach Umformung, auf das Integral [mm] \pi\integral_{0}^{1}{\sqrt{1+z^2}dz}=\pi\integral_{0}^{ln(1+\sqrt{2})}{cosh^{2}(t)}dt=\pi[\bruch{1}{8}e^{2t}+\bruch{1}{4}t-\bruch{1}{8}e^{-2t}]_{0}^{ln(1+\sqrt{2})}. [/mm]
MfG
DonC
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