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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Do 21.04.2005 | | Autor: | mela |
Hallo.
Ich hab unter den Abituraufgaben eine nette zum üben gefunden die auch schon behandelt wurde. Allerdings fehlt dort die erläuterung von Aufgabenteil c) und an dem hänge ich gerade fest.
In Kurzform:
es gibt die Funktion:
$ [mm] y=f(x)=\bruch{(x-1)^2}{x} [/mm] $
x [mm] \in \IR [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0
Eine Gerade schneidet diese Funktion in den Punkten
Q(4/2,25)
und
R(0,25/2,25)
Nun soll der Flächeninhalt bestimmt werden, der von Grap und Gerade, sowie den beiden Schnittpunkten begrenzt wird.
Meine Vorstellung der Integral-Funktion ist:
[mm] \integral_{0,25}^{4} [/mm] {f(x) dx}
wobei für f(x) die oben genannte Funktion eingesetzt wird.
das Problem ist nun, dass ich noch nie mit gebrochen rationalen Funktionen Integrale berechnet habe, und mir gar nicht vorstellen kann, wie ich das machen soll. Ich vermute, dass ich irgendwie den Bruchstrich auflösen muss, aber wie? Bitte helft mir!
Lg, Mela
für genauere Infos hier der Link zur Problemaufgabe :)
https://matheraum.de/read?t=2842&v=c
ach übrigens: ich habe die frage noch in keinem andren forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Do 21.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Melanie
> In Kurzform:
> es gibt die Funktion:
> [mm]y=f(x)=\bruch{(x-1)^2}{x}[/mm]
>
> x [mm]\in \IR[/mm] x [mm]\not=[/mm] 0
>
> Eine Gerade schneidet diese Funktion in den Punkten
> Q(4/2,25)
> und
> R(0,25/2,25)
>
> Meine Vorstellung der Integral-Funktion ist:
>
> [mm]\integral_{0,25}^{4}[/mm] {f(x) dx}
>
Das ist wohl nicht ganz richtig. Deine Gerade begrenzt ja die Fläche auch noch! Ich denke, die Gerade hat einfach die Formel [mm] $y=\bruch{9}{4}$
[/mm]
Somit denke ich, dass das Integral so aussieht:
[mm] $\integral_{0,25}^{4}(9-f(x)) \, [/mm] dx$
> wobei für f(x) die oben genannte Funktion eingesetzt wird.
>
> das Problem ist nun, dass ich noch nie mit gebrochen
> rationalen Funktionen Integrale berechnet habe, und mir gar
> nicht vorstellen kann, wie ich das machen soll. Ich
> vermute, dass ich irgendwie den Bruchstrich auflösen muss,
> aber wie? Bitte helft mir!
Das ist aber nicht wirklich eine schwierige Gebrochen Rationale Funktion, weil du ja ausrechnen kannst:
[mm] $\bruch{9}{4}-\bruch{(x-1)^2}{x}=$
[/mm]
[mm] $\bruch{9x-4(x-1)^2}{4x}=$
[/mm]
[mm] $\bruch{9x-4x^2+8x-4}{4x}=$
[/mm]
[mm] $\bruch{-4x^2+17x-4}{4x}=$
[/mm]
[mm] $-x+\bruch{17}{4}-\bruch{1}{x}$
[/mm]
Ich denke, davon solltest du eine Stammfunktion finden können. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Do 21.04.2005 | | Autor: | mela |
Hallo Paulus
> Das ist wohl nicht ganz richtig. Deine Gerade begrenzt ja
> die Fläche auch noch! Ich denke, die Gerade hat einfach die
> Formel [mm]y=\bruch{9}{4}[/mm]
>
> Somit denke ich, dass das Integral so aussieht:
>
> [mm]\integral_{0,25}^{4}(9-f(x)) \, dx[/mm]
>
oki, das habe ich ja noch verstanden. aber ich denke du meinst [mm]\bruch{9}{4}[/mm] im integral, richtig? :)
> > wobei für f(x) die oben genannte Funktion eingesetzt wird.
> Das ist aber nicht wirklich eine schwierige Gebrochen
> Rationale Funktion, weil du ja ausrechnen kannst:
>
> [mm]\bruch{9}{4}-\bruch{(x-1)^2}{x}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{9x-4(x-1)^2}{4x}=[/mm]
da hab ich jetzt nicht ganz verstanden wie du im nenner auf 4x und im zähler auf 9x-4 usw gekommen bist?! hast du erst mit x und dann mit 4 alles multipliziert? also
[mm]y=\bruch{9}{4}[/mm] * 4
und
$ [mm] y=f(x)=\bruch{(x-1)^2}{x} [/mm] $ * x
wobei der jeweils andere bruch natürlich auch mit dem faktor multipliziert wird...
kann das sein?
>
> [mm]\bruch{9x-4x^2+8x-4}{4x}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{-4x^2+17x-4}{4x}=[/mm]
>
> [mm]-x+\bruch{17}{4}-\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Ich denke, davon solltest du eine Stammfunktion finden
> können.
>
da erwartest du leider zu viel von mir....tut mir leid....ich brauch noch ein wenig hilfe. lineare algebra und son quatsch hab ich kein prob mit, da werd ich mir auch meine abi-klausur mehr oder weniger mit retten müssen. aber analysis geht mal so gar nicht :(
Hilfe!! bitte...
merci, mela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Do 21.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Mela,
> > Somit denke ich, dass das Integral so aussieht:
> >
> > [mm]\integral_{0,25}^{4}(9-f(x)) \, dx[/mm]
> >
> oki, das habe ich ja noch verstanden. aber ich denke du
> meinst [mm]\bruch{9}{4}[/mm] im integral, richtig? :)
Ja, das ist richtig. Da fehle wohl der Rest des Bruchs.
> da hab ich jetzt nicht ganz verstanden wie du im nenner auf
> 4x und im zähler auf 9x-4 usw gekommen bist?! hast du erst
> mit x und dann mit 4 alles multipliziert? also
> [mm]y=\bruch{9}{4}[/mm] * 4
>
> und
>
> [mm]y=f(x)=\bruch{(x-1)^2}{x}[/mm] * x
>
> wobei der jeweils andere bruch natürlich auch mit dem
> faktor multipliziert wird...
> kann das sein?
Nein leider nicht. Wenn du nur multiplizieren würdest, veränderts du ja den Wert des Bruchs, tatsächlich musst du erweitern, also sowohl den Zähler, wie auch den Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. Da man ja nur Brüche mit gleichem Nenner addieren kann, erweitert man:
[mm] $\frac{9}{4}-\frac{(x-1)^2}{x}= \frac{9 \red{\cdot x}}{4 \red{ \cdot x}} [/mm] - [mm] \frac{(x-1)^2 \red{ \cdot 4}}{x \red{\cdot 4}} [/mm] = [mm] \frac{9x-4(x-1)^2}{4x}$
[/mm]
Die weiteren Umformungen hat Paul schon ausführlich dargestellt, ich ergänze mal nur noch einen Zwischenschritt, damit du siehst,wie man später kürzen kann:
[mm]\bruch{-4x^2+17x-4}{4x}=\frac{-4x^2}{4x}+\frac{17x}{4x}-\frac{4}{4x}=-x+\bruch{17}{4}-\bruch{1}{x}[/mm]
Gruß Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Do 21.04.2005 | | Autor: | mela |
danke. aufschlussreich :)
nun weiß ich aber immernoch nich wie ich so eine besch***ene (tschuldigung) stammfunktion aufstellen kann....ich krichs nich in meinen schädel rein....*hoil*
mela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Do 21.04.2005 | | Autor: | Nam |
[mm]\integral {-x + \frac{17}{4} - \frac{1}{x} dx} = \integral{-x dx} + \integral{\frac{17}{4} dx} - \integral{\frac{1}{x} dx}[/mm]
Was sind die Stammfunktionen von [mm]-x[/mm], [mm]\frac{17}{4}[/mm] und [mm]\frac{1}{x}[/mm]?
1) Finde eine Funktion, deren Ableitung -x ergibt.
Wenn wir [mm]x^2[/mm] nehmen, ergibt das abgeleitet [mm]2x[/mm]. Das ist noch nicht ganz das richtige. Schreiben wir als Konstante noch [mm]-\frac{1}{2}[/mm] dazu (also [mm]-\frac{1}{2} x^2[/mm], dann ergibt sich als Ableitung [mm]-\frac{1}{2} * 2 * x = -x[/mm]. Bingo!
2) Finde eine Funktion, deren Ableitung [mm]\frac{17}{4}[/mm] ergibt. Das ist noch einfacher.. Kommst du selber drauf?
3) Finde eine Funktion, deren Ableitung [mm]\frac{1}{x}[/mm] ergibt. Dazu solltest du ein eure Formelsammlung schauen, da steht die Stammfunktion von [mm] \frac{1}{x} [/mm] drin, oder man kennt sie auswendig. Das ist nämlich [mm]ln(x)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Do 21.04.2005 | | Autor: | mela |
danke nam.
ich werd mich da später dran setzen. muss jetz erstmal für englisch klausur büffeln.
ich werde aber über mein resultat berichten.
lg, mela
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