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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)=2xe^(1/2x²)
a.) Stellen Sie den Inhalt der Fläche C, die im 1. Quadranten vom Graphen von f, der senkrechten Geraden x=u (u>0) und der x-Achse umschlossen wird, als Funktion von u dar.
b.) Was ergibt sich für u --> unendlich?
c.) Wie müsste u gewählt werden, damit die Senkrechte Gerade x=u die gesamte im 1. Quadranten zwischen dem Graphen von f und der x-Achse gelegene Fläche halbiert? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie gehe ich hier vor?
Muss ich dazu die partielle Integration anwenden? (Aufgabe a)
Das Ableiten mit Hilfe der Produktregel stellt kein Problem dar, aber diese Aufgabe überfordert mich in ihrer Gesamtheit.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 So 15.01.2012 | | Autor: | fred97 |
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> Gegeben ist die Funktion f(x)=2xe^(1/2x²)
>
> a.) Stellen Sie den Inhalt der Fläche C, die im 1.
> Quadranten vom Graphen von f, der senkrechten Geraden x=u
> (u>0) und der x-Achse umschlossen wird, als Funktion von u
> dar.
>
> b.) Was ergibt sich für u --> unendlich?
>
> c.) Wie müsste u gewählt werden, damit die Senkrechte
> Gerade x=u die gesamte im 1. Quadranten zwischen dem
> Graphen von f und der x-Achse gelegene Fläche halbiert?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Wie gehe ich hier vor?
>
> Muss ich dazu die partielle Integration anwenden? (Aufgabe
> a)
>
> Das Ableiten mit Hilfe der Produktregel stellt kein Problem
> dar, aber diese Aufgabe überfordert mich in ihrer
> Gesamtheit.
Die gesuchte Fläche ergibt sich aus
[mm] \integral_{0}^{u}{f(x) dx}
[/mm]
Zur berechnung des Integrals substituiere [mm] t=\bruch{1}{2}x^2
[/mm]
FRED
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Lieber Fred, du siehst nur Fragezeichen über meinem Kopf schweben
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Hallo Aurileana und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die vorgelegte Funktion hat ja ihre einzige Nullstelle im Koordinatenursprung. Rechts davon ist sie positiv. Man kann also für nichtnegative x-Werte die Fläche direkt mit dem bestimmten Integral berechnen. Also
[mm] A(u)=\integral_{0}^{u}{f(x) dx}
[/mm]
wobei du für diese Rechnung natürlich noch eine Stammfunktion von f benötigst. Um diese per Integration durch Substitution zu erhalten, hat dir FRED genau den richtigen Tipp gegeben. 
Gruß, Diophant
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Ich zweifel nicht Fred's Tipp an.
Sicher ist er richtig, doch habe ich bisher nur ganzrationale Funktionen substituiert, um Nullstellen zu errechnen.
Mir ist bewusst, dass ich integrieren muss, um den Flächeninhalt zu bestimmen, aber wie ich eine Substituion, eine e-Funktion mit dem passenden Integral zusammenbringe, verstehe ich nicht.
Ich habe bereits recherchiert zu meinem Problem und dachte ich müsste Die partielle Integration durchführen.
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Also
F(x)= [mm] (2xe^1/2x^2)dx [/mm] = [mm] [2xe^t]
[/mm]
im Intervall 0 bis u ?????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 So 15.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier mal der Weg über die Substitution:
Du hast:
[mm] \int2x\cdot e^{\frac{1}{2}x^{2}}dx
[/mm]
Nun definiere eine "Hilfsfunktion [mm] u(x):=\frac{1}{2}x^2
[/mm]
Damit kannst du
[mm] \int2x\cdot e^{\frac{1}{2}x^{2}}dx
[/mm]
wie folg schreiben:
[mm] \int2x\cdot e^{u}dx
[/mm]
Das Problem ist, dass immer noch über x integriert werden soll (Das dx zeight das an). Außerdem ist immer noch ein x im Integral.
Dieses dx müsste man durch du ersetzen, dazu schreibe mal:
[mm] u'(x)=\frac{du}{dx}=x
[/mm]
Das, nach dx umgestellt, ergibt
[mm] dx=\frac{du}{x}
[/mm]
Das ganze kannst du nun in das Integral einsetzen, also:
[mm] \int2x\cdot e^{u}dx
[/mm]
[mm] =\int2x\cdot e^{u}\cdot\frac{du}{x}
[/mm]
Nun kürtzt sich praktischerweise das x, also
[mm] =\int2x\cdot e^{u}\cdot\frac{du}{x}
[/mm]
[mm] =\int 2e^{u}du
[/mm]
Nun kannst du die Stammfunktion wiederbar bestimmen, mit 2e^(u)
Nun musst du natürlich noch u wieder durch u(x) ersetzen, also gilt:
[mm] \int2x\cdot e^{\frac{1}{2}x^{2}}dx=2\cdot e^{\frac{1}{2}x^{2}}
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Aurileana |
Vielen lieben Dank, dass du mir das noch erklärt hast und ich hab es sogar verstanden. ;)
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Hallo,
> Ich zweifel nicht Fred's Tipp an.
> Sicher ist er richtig, doch habe ich bisher nur
> ganzrationale Funktionen substituiert, um Nullstellen zu
> errechnen.
Ok, das ist aber etwas völlig anderes.
>
> Mir ist bewusst, dass ich integrieren muss, um den
> Flächeninhalt zu bestimmen, aber wie ich eine Substituion,
> eine e-Funktion mit dem passenden Integral zusammenbringe,
> verstehe ich nicht.
Es gibt eine Integrationstechnik, bei der man Teile des Integranden geschickt substituiert, um mit Hilfe elementarer Integratiopnsregeln eine Stammfunktion zu bekommen. Und ehrlich gesagt: das solltet ihr durchgenommen haben, denn es funktioniert hier nicht anders. Insbesondere das:
> Ich habe bereits recherchiert zu meinem Problem und dachte
> ich müsste Die partielle Integration durchführen.
funktioniert in diesem Fall nicht, da die Stammfunktion von [mm] e^{\bruch{1}{2}x^2} [/mm] nicht geschlossen darstellbar ist.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 So 15.01.2012 | | Autor: | Aurileana |
Leider ist meine Kopie der Aufgabenstellung extrem schlecht.
Die Aufgabe könnte auch
f(x)= [mm] 2xe^{-1/2x^2}
[/mm]
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> Mir ist bewusst, dass ich integrieren muss, um den
> Flächeninhalt zu bestimmen, aber wie ich eine Substituion,
> eine e-Funktion mit dem passenden Integral zusammenbringe,
> verstehe ich nicht.
>
> Ich habe bereits recherchiert zu meinem Problem und dachte
> ich müsste Die partielle Integration durchführen.
Hallo,
.
Da Du im Schulforum postest, gehe ich mal davon aus, daß Du in die Schule gehst, und Deinen Äußerungen entnehme ich, daß Ihr bisher noch gar nicht gelernt habt, zu substituieren.
Schauen wir uns das Integral nochmal an: zu berechnen ist [mm] \integral 2xe^{\bruch{1}{2}x^2} [/mm] dx.
Wenn Du Dir jetzt mal klarmachst, daß [mm] 2xe^{\bruch{1}{2}x^2} [/mm] "fast" die Ableitung von [mm] e^{\bruch{1}{2}x^2} [/mm] ist, wird es Dir nicht mehr schwerfallen, eine Stammfunktion zu finden.
LG Angela
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F(x)= [mm] -2e^{-1/2x^2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 So 15.01.2012 | | Autor: | Aurileana |
[mm] A(u)=-2e^{-1/2u^2}+2
[/mm]
Ist das irgendwie richtig?
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Hallo Aurileana,
> [mm]A(u)=-2e^{-1/2u^2}+2[/mm]
>
> Ist das irgendwie richtig?
Das ist sogar sehr richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Hallo Aurileana,
> F(x)= [mm]-2e^(-1/2x^2)[/mm]
Ja, das ist eine Stammfunktion zu [mm]f\left(x\right)=2x*e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}[/mm]
Gruss
MathePower
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Ohhhh supi.
Dann blicke ich wieder durch.
Was muss ich jetzt noch tun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 So 15.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ohhhh supi.
>
> Dann blicke ich wieder durch.
>
> Was muss ich jetzt noch tun?
Gar nicht mehr viel.
Die Fläche hast du mit
$ [mm] C(u)=-2e^{-1/2u^2}+2 [/mm] $
ja korrekt ermittelt.
Das ist auch schon die Läsung für Aufgabe a)
In Aufgabe b berechne die "Grenzfläche" G, wenn x gegen unendlich läuft, also
[mm] G=\lim_{u\to\infty}C(u)
[/mm]
In Aufgabe c) bestimme u so, dass gilt:
[mm] C(u)=\frac{G}{2}
[/mm]
Marius
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Hmmmm mit dem Limes habe ich es gar nicht ;)
Ich weiß, dass zwei rauskommt, aber die korrekte Limesdarstellung lässt zu wünschen übrig....
G=lim [mm] (-2e^{-1/2u^2}+2
[/mm]
G=lim [mm] (-2e^{-1/2unendlich^2}+2
[/mm]
G=lim (0+2)
G=lim 2
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Hallo nochmal,
[mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\left(-2e^{-\bruch{1}{2}u^2}+2\right)=2
[/mm]
So besser? 
Gruß, Diophant
PS: Klicke auf 'Quelltext' um zu sehen, wie mathematische Noptationen in LaTeX realisiert wurden.
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Reicht das mit dem Limes so, wenn ich das so hinschreibe wie oben gezeigt?
Teilaufgabe ist nun einfach. Ich halbiere meinen Flächeninhalt von 2 und setze gleich, um nach u aufzulösen. Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 So 15.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Reicht das mit dem Limes so, wenn ich das so hinschreibe
> wie oben gezeigt?
Schreibe evtl noch einen Schritt dazwischen:
$ [mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\left(-2e^{-\bruch{1}{2}u^2}+2\right) [/mm] $
$ [mm] =\limes_{u\rightarrow\infty}-2e^{-\bruch{1}{2}u^2}+\limes_{u\rightarrow\infty}2 [/mm] $
$ =0+2 $
>
> Teilaufgabe ist nun einfach. Ich halbiere meinen
> Flächeninhalt von 2 und setze gleich, um nach u
> aufzulösen. Richtig?
Das ist etwas verwirrend ausgedrückt, ich schrieb ja schon:
$ [mm] C(u)=\frac{G}{2} [/mm] $
Also, mit $ [mm] C(u)=-2e^{-\frac{1}{2}u^2}+2 [/mm] $ und G=2:
[mm] -2\cdot e^{-\frac{1}{2}u^2}+2+2=\frac{2}{2}
[/mm]
Bestimme mit dieser Gleichung u.
Marius
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$ [mm] -2\cdot e^{-\frac{1}{2}u^2}+2+2=\frac{2}{2} [/mm] $
$ [mm] -2\cdot e^{-\frac{1}{2}u^2}+4=1 [/mm] $ / -4; : (-2)
$ [mm] e^{-\frac{1}{2}u^2}= \frac{3}{2} [/mm] $ / ln
$ [mm] {-\frac{1}{2}u^2}= [/mm] ln [mm] \frac [/mm] {3}{2} $ / : (-1/2);
u² = -0,8109
An dieser Stelle habe ich dann ein Vorzeichenproblem, da die Wurzel negativ wird.
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Hallo Aurileana,
> [mm]-2\cdot e^{-\frac{1}{2}u^2}+2+2=\frac{2}{2}[/mm]
>
> [mm]-2\cdot e^{-\frac{1}{2}u^2}+4=1[/mm]
> / -4; : (-2)
>
> [mm]e^{-\frac{1}{2}u^2}= \frac{3}{2}[/mm]
> / ln
>
> [mm]{-\frac{1}{2}u^2}= ln \frac {3}{2}[/mm]
> / : (-1/2);
>
> u² = -0,8109
>
> An dieser Stelle habe ich dann ein Vorzeichenproblem, da
> die Wurzel negativ wird.
Die zu lösende Gleichung lautet doch:
[mm]-2\cdot e^{-\frac{1}{2}u^2}+2=\frac{2}{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 So 15.01.2012 | | Autor: | Aurileana |
u = 1,177410023
Ich hatte mich schon gewundert, wo das 2 + 2 her kam und das wäre meine nächste Frage gewesen.
Ich freue mich riesig, dass ich es doch gelöst habe und ihr mir so toll geholfen und kontrolliert habt.
Vielen vielen Dank.
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