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Forum "Schul-Analysis" - Flächeninhalt-ZwischenFunktion

Flächeninhalt-ZwischenFunktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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Flächeninhalt-ZwischenFunktion: Intergralrechnung - Frage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	00:43 Fr 13.05.2005
Autor:	salai

Guten Abend[Guten Morgen],

Hi, ich wollte wissen, ob mein Ergebnis stimmt. Ich habe zu der Aufgabe keine Lösung und stehe vor einer Prüfung.

Die Aufgabe ist : Gesucht ist der Flächeninhalt von den beiden Kurven mit den Gleichungen
f(x) = [mm] \bruch {1}{2}{x^2} - {x} + \bruch {1}{2} [/mm]

h(x) = [mm] \bruch {1}{2} \left( x^3 - 5x^2 + x +11 \right)[/mm]

eingeschlossen wird. ID = IR.

Mein ergebnis :
g(x) = f(x) - h(x)
= [mm]-\bruch{1}{2} x^3 + 3x^2 - \bruch {3}{2} x - 5 [/mm]

Suche den Nullstelle ---
[mm]-\bruch{1}{2} x^3 + 3x^2 - \bruch {3}{2} x - 5 [/mm] = 0 /* (-2)
[mm] x^3 - 6x^2 + {3} x + 10 [/mm] = 0

durch Newton verfahren habe ich den Xn1 = -1 bekommen.

weiteren Nullstellen sind Xn2 = 5 und Xn3 = 2

und Flächeinhalt bekomme ich --> [mm] {82}\bruch{3}{4} [/mm] FE.

Stimmt meine Lösung ?

Gruß,
salai.

Eigentlich habe ich schon die Gleiche Thema hier schon gepostet.
Integration Thema
Troztdem postet ich noch mal als Neue Fragen. ich hoffe, habe ich nicht die forum Regel nicht verstossen. ? ???

Bezug

Flächeninhalt-ZwischenFunktion: Weg richtig! Andere Fläche!

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	01:08 Fr 13.05.2005
Autor:	Loddar

Hallo salai!

> Die Aufgabe ist : Gesucht ist der Flächeninhalt von den
> beiden Kurven mit den Gleichungen
> f(x) = [mm]\bruch {1}{2}{x^2} - {x} + \bruch {1}{2}[/mm]
>
> h(x) = [mm]\bruch {1}{2} \left( x^3 - 5x^2 + x +11 \right)[/mm]
>
> eingeschlossen wird. ID = IR.
>
> Mein ergebnis :
> g(x) = f(x) - h(x)
>          = [mm]-\bruch{1}{2} x^3 + 3x^2 - \bruch {3}{2} x - 5[/mm]
>
> Suche den Nullstelle ---
> [mm]-\bruch{1}{2} x^3 + 3x^2 - \bruch {3}{2} x - 5[/mm] = 0 /*(-2)
> [mm]x^3 - 6x^2 + {3} x + 10[/mm] = 0
>
> durch Newton verfahren habe ich den Xn1 = -1 bekommen.

Anstelle des Newton-Verfahrens kannst Du auch mit "kontrolliertem Probieren" vorgehen. In der Normalform (also vor der höchsten Potenz steht eine 1) bieten sich hier immer die Teiler des letzten Gliedes (des Absolutgliedes) an:

[mm] $\pm [/mm] 1$   [mm] $\pm [/mm] 2$   [mm] $\pm [/mm] 5$

Das kann schneller gehen als das Newton-Verfahren.

Die weiteren Nullstellen erhält ma ja dann über

Polynomdivision bzw.

p/q-Formel.

> weiteren Nullstellen sind Xn2 = 5 und Xn3 = 2

> und Flächeinhalt bekomme ich --> [mm]{82}\bruch{3}{4}[/mm] FE.

Hier habe ich etwas anderes heraus!

Mein Ergebnis (bitte nachrechnen): [mm]A_{ges.} \ = \ 20\bruch{\blue{1}}{4} \ [F.E.][/mm]

Edit: Tippfehler korrigiert. Loddar

Wie lautet denn Deine Stammfunktion bzw. wie groß sind denn Deine beiden Teilflächen?

Gruß
Loddar

Bezug

Flächeninhalt-ZwischenFunktion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	12:28 Fr 13.05.2005
Autor:	salai

> Hallo salai!
> > Die Aufgabe ist : Gesucht ist der Flächeninhalt von den
> > beiden Kurven mit den Gleichungen
>  > f(x) = [mm]\bruch {1}{2}{x^2} - {x} + \bruch {1}{2}[/mm]

> > h(x) = [mm]\bruch {1}{2} \left( x^3 - 5x^2 + x +11 \right)[/mm]
> > eingeschlossen wird. ID = IR.
>  >
> > Mein ergebnis :
> > g(x) = f(x) - h(x)


> Suche den Nullstelle ---
>  > [mm]-\bruch{1}{2} x^3 + 3x^2 - \bruch {3}{2} x - 5[/mm] = 0

> /*(-2)
>  > [mm]x^3 - 6x^2 + {3} x + 10[/mm] = 0

>  >
> > durch Newton verfahren habe ich den Xn1 = -1 bekommen.
>
> Anstelle des Newton-Verfahrens kannst Du auch mit
> "kontrolliertem Probieren" vorgehen. In der Normalform
> (also vor der höchsten Potenz steht eine 1) bieten sich
> hier immer die Teiler des letzten Gliedes (des
> Absolutgliedes) an:
>
> [mm]\pm 1[/mm]   [mm]\pm 2[/mm]   [mm]\pm 5[/mm]
>
> Das kann schneller gehen als das Newton-Verfahren.

>"In der Normalform  (also vor der höchsten Potenz steht eine 1) bieten >sich   hier immer die Teiler des letzten Gliedes " diese aussage verstehe >nicht so ganz.  "

Ich weiß nur, bei newton verfahren zuerst mit ganzahligen verraten soll.
Was ich auch allerding mühsam finde.
Maybe, kennst ja jemand bessere methode. ?

Wie haben sie heraus diese  [mm]\pm 1[/mm]   [mm]\pm 2[/mm]   [mm]\pm 5[/mm] ?

Von hier ? [mm]-\bruch{1}{2} x^3 + 3x^2 - \bruch {3}{2} x - 5[/mm]
OR

[mm]x^3 - 6x^2 + {3} x + 10[/mm] = 0

> > weiteren Nullstellen sind Xn2 = 5  und Xn3 = 2
>
>

>
>
> > und Flächeinhalt bekomme ich --> [mm]{82}\bruch{3}{4}[/mm] FE.
>
>

Hier habe ich etwas anderes heraus!
>
> Mein Ergebnis (bitte nachrechnen):  [mm]A_{ges.} \ = \ 20\bruch{3}{4}[F.E.][/mm]
>
> Wie lautet denn Deine Stammfunktion bzw. wie groß sind denn
> Deine beiden Teilflächen?
>

So habe ich.
   5            2             5
[I]     =  [I]        + [I]
   -1           -1           2

[mm]-\bruch{1}{2} x^3 + 3x^2 - \bruch {3}{2} x - 5[/mm] Stammfunktion gebildet und habe ...

[mm] -\bruch{1}{8}x^3 + x^3 - \bruch {3}{4}x^2 - 5x [/mm]

Und ich habe noch mal gerechnet, Mein ergebnis --> [mm]20\bruch{1}{4}[/mm] FE

Bezug

Flächeninhalt-ZwischenFunktion: Jetzt stimmt's !!

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	12:47 Fr 13.05.2005
Autor:	Loddar

Hallo salai!

> In der Normalform  (also vor der höchsten Potenz steht
> eine 1) bieten sich hier immer die Teiler des letzten
> Gliedes "

> diese aussage verstehe nicht so ganz.

Die Normalform einer Parabel oder eines Polynoms sieht ja folgendermaßen aus:

Parabel:
[mm] $\red{1}*x^2 [/mm] + p*x + q \ = \ 0$

allgemeines Polynom:
[mm] $\red{1}*x^n [/mm] + [mm] a_{n-1}*x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{1}*x [/mm] + [mm] a_0 [/mm] \ = \ 0$

Wenn ich nun durch Probieren eine Nullstelle herausfinden möchte, verwende ich nun (ganzzahlige) Teiler des letzten Terms (dem sog. "Absolutglied", hier steht kein x mehr dabei!).

Beispiel: Am Ende steht eine 6.

Die 6 hat folgende Teiler: 1, 2, 3, 6

Daher werde ich beim Probieren diese Zahlen einsetzen:
$+1$  $-1$  $+2$  $-2$  $+3$  $-3$  $+6$  $-6$

Das hatte ich oben etwas abgekürzt als: [mm] $\pm [/mm] \ 1$ usw.

> Wie haben sie heraus diese  [mm]\pm 1[/mm]   [mm]\pm 2[/mm]   [mm]\pm 5[/mm] ?

Anmerkung: Du darfst hier im Forum alle duzen!


Von dieser Funktion:  [mm]x^3 - 6x^2 + {3} x + 10 = 0[/mm]

Ups: dann fehlt natürlich auch noch [mm] $\pm [/mm] \ 10$ !!

> Und ich habe noch mal gerechnet, Mein ergebnis -->
> [mm]20\bruch{1}{4}[/mm] FE

Da hat sich bei mir ein Tippfehler eingeschlichen

.
(Habe es gerade korrigiert ...)

Also dieses Ergebnis stimmt!

Gruß
Loddar

Bezug

Flächeninhalt-ZwischenFunktion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	12:58 Fr 13.05.2005
Autor:	salai

> Die Normalform einer Parabel oder eines Polynoms sieht ja
> folgendermaßen aus:
>
> Parabel:
>  [mm]\red{1}*x^2 + p*x + q \ = \ 0[/mm]

> allgemeines Polynom:
>  [mm]\red{1}*x^n + a_{n-1}*x^{n-1} + ... + a_{1}*x + a_0 \ = \ 0[/mm]
>
> Wenn ich nun durch Probieren eine Nullstelle herausfinden
> möchte, verwende ich nun (ganzzahlige) Teiler des letzten
> Terms (dem sog. "Absolutglied", hier steht kein x mehr
> dabei!).
>
> Beispiel: Am Ende steht eine 6.
>
> Die 6 hat folgende Teiler: 1, 2, 3, 6
>
> Daher werde ich beim Probieren diese Zahlen einsetzen:
>  [mm]+1[/mm]  [mm]-1[/mm]  [mm]+2[/mm]  [mm]-2[/mm]  [mm]+3[/mm]  [mm]-3[/mm]  [mm]+6[/mm]  [mm]-6[/mm]
>

Man muss nur durch Probieren ! Ist richtigt mühsam finde ich.
Es könnte auch sein, dass die Zahlen Z.b zwischen
-1 und +1 liegt oder.?

gruß,
salai.

Bezug

Flächeninhalt-ZwischenFunktion: Erläuterung

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	13:18 Fr 13.05.2005
Autor:	Loddar

Hallo salai!

> Man muss nur durch Probieren ! Ist richtigt mühsam finde
> ich.

Das ist dann wohl Geschmackssache! Ich selber würde die Probiermethode zunächst bevorzugen, da ich sie (für mich) schneller finde.

Wenn die Funktion natürlich keine ganzzahligen Nullstellen hat, kann es passieren, daß ich sowieso auf das

Newton-Verfahren zurückgreifen muß.

> Es könnte auch sein, dass die Zahlen Z.b zwischen
> -1 und +1 liegt oder.?

Wenn die entsprechende Funktion ganzzahlige Nullstellen hat, kann diese ganzzahlige Nullstelle nicht zwischen diesen beiden Werten liegen.

Die Existenz von Nullstellen zwischen diesen beiden Werten -1 und +1 ist natürlich nie ganz ausgeschlossen.

Gruß
Loddar

Bezug

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