Flächengeschwindigkeit? < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 So 31.01.2010 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | | Eine ebene Kurve werde mit konstanter Geschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] und mit konstanter Flächengeschwindigkeit [mm] \phi_0 [/mm] durchlaufen. Welche Bahnen kommen hierfür in Frage? |
Bei v=const. gilt:
[mm] $r(t)=v_0\cdot [/mm] t$
Ich würde also mal darauf tippen, dass bei konstanter Geschwindigkeit Geraden als Bahnen in Frage kommen. Aber was hat es mit der Flächengeschwindigkeit auf sich?
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> Eine ebene Kurve werde mit konstanter Geschwindigkeit [mm]v_0[/mm]
> und mit konstanter Flächengeschwindigkeit [mm]\phi_0[/mm]
> durchlaufen. Welche Bahnen kommen hierfür in Frage?
> Bei v=const. gilt:
> [mm]r(t)=v_0\cdot t[/mm]
> Ich würde also mal darauf tippen, dass
> bei konstanter Geschwindigkeit Geraden als Bahnen in Frage
> kommen. Aber was hat es mit der Flächengeschwindigkeit auf
> sich?
Hallo,
ich denke mal, daß mit [mm] v_0=const [/mm] der Betrag der Geschwindigkeit gemeint ist, dann muß es nicht zwingend eine Gerade sein.
Flächengeschwindigkeit: das ist das mit dem Fahrstrahl, der in derselben Zeit stets dieselbe Fläche überstreicht. (Dunkle Erinnerung: Drehimpuls konstant)
Ich würd mal sagen: Kreise.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
Der Drehimpuls kommt hier nicht zu tragen, denn das war ja das mit den Planeten und so, sprich ansonsten kräftefreier Körper in Gravitationsfeld.
Hier gehts um ne Straße, sodaß beliebige Kräfte ausgeübt werden können, dann ist auch der Drehimpuls hin.
Aber der Kreis ist natürlich eine Lösung des Problems.
Tatsächlich ist auch die Grade eine Lösung, denn ein Wegstück [mm] $\Delta [/mm] s [mm] =v\Delta [/mm] t$ bildet mit einem beliebigen Punkt ein Dreieck, dessen Fläche nur von [mm] $\Delta [/mm] s$ und dem Abstand des Beobachters zur Graden abhängig ist. Allerdings ist ja von einer Kurve die Rede, mathematisch ist auch ne Grade eine Kurve, auf der Straße sieht das etwas anders aus.
Ansonsten habe ich ein Problem damit, daß in der Aufgabe ein Beobachtungspunkt fehlt, aus dem richtigen Blickwinkel bekommt man sowas bestimmt in vielen Fällen hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 So 31.01.2010 | | Autor: | notinX |
Was ihr erzählt klingt alles plausibel. Aber so wie ich die Aufgabensteller kenne, wollen die das Ganze etwas mathematischer beantwortet haben. Das ist wohl so eine Aufgabe vom Typ "Wir haben so gut wie nichts gegeben, leiten daraus aber trotzdem Gott und die Welt ab"
Ich kann mir leider nicht mehr als $ [mm] r(t)=v_0\cdot [/mm] t $ aus den Fingern saugen... und dabei ist noch nichtmal die Flächengeschwindigkeit einbezogen.
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Hmmm, noch eine Frage: Was für Themen nehmt ihr so durch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 So 31.01.2010 | | Autor: | notinX |
Also im Moment gerade Kinematik, Dynamik, Schwingungen, etc.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nehmen wir erst mal an es handelt sich um eine ebene Bewegung.
Wir nehmen Polarkoordinaten:
[mm] \vec{r}=(rcoswt \\ [/mm] rsinwt)
[mm] \vec{r'}=\vec{v}=(r'coswt-rwsinwt \\ [/mm] r'sinwt*rwcoswt)
jetzt [mm] |\vec{r}|=const
[/mm]
2. [mm] \Phi=const =|0,5*\vec{r}/times \vec{v}|=const.
[/mm]
auch ausrechnen.
ich krieg als Ergebnis nur Kreis und Gerade raus.
Kreis r=const, Gerade w=0
Mathematisch genug?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Mo 01.02.2010 | | Autor: | notinX |
[mm] \mathbf{r}(t)=\left(\begin{array}{c}
r\cos\omega t\\
r\sin\omega t\end{array}\right)\Rightarrow\mathbf{\dot{r}}(t)=\left(\begin{array}{c}
\dot{r}\cos\omega t-r\omega\sin\omega t\\
\dot{r}\sin\omega t+r\omega\cos\omega t\end{array}\right)
[/mm]
[mm] \Rightarrow |\mathbf{\dot{r}}(t)|=\sqrt{\dot{r}^{2}+r^{2}\omega^2}=const. [/mm] was kann ich daraus jetzt ablesen?
Wie kommst Du auf [mm] $\phi=\left|\frac{1}{2}\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}\right|$ [/mm] Ist das so definiert? ich habe weder bei Wiki noch in der Literatur was gefunden.
(Wenn wir gerade dabei sind: Wie ist denn das Kreuzprodukt für Vektoren mit nur zwei Komponenten definiert?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Mo 01.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit dem Kreuzprodukt rechnet man wie mit dritte Komponente 0 aus, d.h. es steht senkrecht auf der Ebene der 2 Vektoren. sein Betrag ist die Fläche des parallelogramms, was zwischen den beiden aufgespannt wird
[mm] |a\times [/mm] b|=|a|*|b|*sin(a,b)
2. die Fläche die der sogenannte Fahrstrahls in dt überstreicht ist deshalb infinitesimal [mm] |\vec{r}\times \vec{ds}| [/mm] mit [mm] \vec{ds}=\vec{r'}dt
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 So 14.02.2010 | | Autor: | notinX |
> 2. die Fläche die der sogenannte Fahrstrahls in dt
> überstreicht ist deshalb infinitesimal [mm]|\vec{r}\times \vec{ds}|[/mm]
> mit [mm]\vec{ds}=\vec{r'}dt[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Gruss leduart
Könntest Du das noch ein wenig genauer erklären?
Wie wird aus $ |\vec{r}\times \vec{ds}| $ mit $ \vec{ds}=\vec{r'}dt $
$\left|\frac{1}{2}\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}\right| $?
Wenn ich $\dot{r}}\operatorname{d}t$ integiere kommt doch r raus und nicht \frac{1}{2}\dot{r}, oder?
und wieso ist $ |\vec{r}\times \vec{ds}| $ überhaupt die überstrichene Fläche, das müsste doch eigentlich ein Kreissektor und kein Parallelogramm sein, oder?
Irgendwie blick ich da noch nicht so durch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 So 14.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Fläche ist ein Kreissektor.allerdings einer mit infinitesimal kleinem ds, also Ein Dreick
mit Seiten [mm] \vec{r} [/mm] und [mm] \vec{ds} [/mm] die Fläche ist deshalb das halbe Vektorprodukt.
das fehlt in meinem älteren Text, da es ja nur drum geht, dass das konstant ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 So 14.02.2010 | | Autor: | notinX |
> Hallo
> Die Fläche ist ein Kreissektor.allerdings einer mit
> infinitesimal kleinem ds, also Ein Dreick
> mit Seiten [mm]\vec{r}[/mm] und [mm]\vec{ds}[/mm] die Fläche ist deshalb
> das halbe Vektorprodukt.
> das fehlt in meinem älteren Text, da es ja nur drum geht,
> dass das konstant ist.
> Gruss leduart
so langsam macht das alles Sinn.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe kommt raus:
$ [mm] |\mathbf{\phi}|=\left|\frac{1}{2}\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}\right|=\frac{1}{2}r^2\omega=const. [/mm] $
sowie
[mm] $|\mathbf{\dot{r}}(t)|=\sqrt{\dot{r}^{2}+r^{2}\omega^2}=const. [/mm] $
Aber woran sehe ich jetzt, dass es sich um Kreise oder Geraden handelt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mo 15.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. mit [mm] r(t)=\vektor{r\cos(w*t)\\r\sin(wt)} [/mm] hast du ja schon w=const vorrausgesetzt.
wenn du das unbedingt so schreiben musst,
dann [mm] r(t)=\vektor{r\cos(\phi(t)\\r\sin(\phi(t))}
[/mm]
aber das ist unnötig.
du hast für die Flächengeschw. konstant:
[mm] r\times [/mm] r'=const, d.h. [mm] (r\times [/mm] r)'=0
d.h. [mm] r\times [/mm] r''+ [mm] r'\timesr'=0 [/mm] also [mm] r\times [/mm] r''=0
d.h. entweder ist r'' parallel zu r daraus folgt Kreisbewegung
oder r''=0 daraus folgt lineare Bewegung.
mit zusätzlich |r'|=const folgt damit zusätzlich gleichförmige Kreisbewegung oder ggleichförmig geradlinige Bewegung.
Gruss leduart
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