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| Aufgabe | Gegeben ist die Schar der Funktionen
[mm]f_p:x=3-\bruch{1}{2}p^3x-\bruch{1}{4}x^2+\bruch{1}{3}px^3[/mm]
mit p>0 als Scharparameter. Jeder Graph begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen und der Geraden g: x-3=0 ein Flächenstück. Für welchen Wert von p hat dieses Flächenstück den größtmöglichen Inhalt und wie groß ist dieser? |
Hi,
also die Fläche, die ich suche wird begrenzt von dem Graphen [mm] f_p(x) [/mm] den beiden Koordinatenachsen und x=3.
also muss ich [mm] f_p(x) [/mm] von 0 bis 3 integrieren.
Stimmt das soweit?
nur was muss ich dann machen, um zu wissen, wie groß der größte Flächeninhalt ist?
mfg, Michael
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Hallo, mache dann eine Extremwertbetrachtung, Steffi
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uff....
ich glaube ich weiß jetzt irgendwie nicht genau was du meinst. Könntest du vll. ganz kurz erklären wie genau das geht?
mfg, michael
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Nun, du sollst einfach integrieren ;)
Durch die Grenzen fällt ja x praktisch weg, denn du setzt einmal 3 und einmal 0 ein. Somit erhälst du eine Zielfunktion (z.B. A(p) ), die nur noch ein p enthält. Damit kannst du eine Extremwertbetrachtung machen, diese Funktion also nach p ableiten und nach Extrema suchen.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsstest du dann für p einen Extremwert bei [mm] p_0=1 [/mm] errechnen
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mhh...aber wenn ich f(x) integriere von 0 bis 3, das dann ausrechne und das wieder ableite, kommt doch wieder f(x) raus, oder?
Das sagt mir doch der HDI, oder sehe ich da etwas falsch?
mfg, michael
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Du verwechselst zwei fundamentale Sachen, bzw du berücksichtigst nicht, dass du nach P! ableiten sollst, denn ein x ist doch gar nicht mehr vorhanden, wenn du die Grenzen einsetzt. Das habe ich doch ausführlich geschrieben, wenn du für x 3 uund 0 einsetzt, ist da kein x mehr, du hast eine neue Funktion, die nur von p abhängt.
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achso, nun hab ichs kapiert:
[mm]F_p(x)=\integral_{0}^{3}{\left(\bruch{1}{3}px^3-\bruch{1}{4}x^2-\bruch{1}{2}p^3x+3\right) dx}=....=
\bruch{9}{4}p^3+\bruch{27}{4}p+\bruch{27}{4}=A(p)[/mm]
[mm] A'(p)=\bruch{27}{4}p^2+\bruch{27}{4}
[/mm]
NST:
[mm] \bruch{27}{4}p^2+\bruch{27}{4}=0
[/mm]
[mm] p^2=-1
[/mm]
und jetzt häng ich, da Wurzel aus negativen Zahlen eher schlecht geht, aber ich finde auch keinen Rechenfehler...
mfg, michael
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Halo, die Stammfunktion lautet:
[mm] F(x)=3*x-\bruch{1}{2}*p^{3}*\bruch{1}{2}*x^{2}-\bruch{1}{4}*\bruch{1}{3}*x^{3}+\bruch{1}{3}*p*\bruch{1}{4}*x^{4}
[/mm]
[mm] F(x)=3*x-\bruch{1}{4}*p^{3}*x^{2}-\bruch{1}{12}*x^{3}+\bruch{1}{12}*p*x^{4}
[/mm]
setze jetzt die Grenzen 3 und 0 ein,
Steffi
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> Halo, die Stammfunktion lautet:
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> [mm]F(x)=3*x-\bruch{1}{2}*p^{3}*\bruch{1}{2}*x^{2}-\bruch{1}{4}*\bruch{1}{3}*x^{3}+\bruch{1}{3}*p*\bruch{1}{4}*x^{4}[/mm]
>
> [mm]F(x)=3*x-\bruch{1}{4}*p^{3}*x^{2}-\bruch{1}{12}*x^{3}+\bruch{1}{12}*p*x^{4}[/mm]
>
> setze jetzt die Grenzen 3 und 0 ein,
>
> Steffi
jo, hab ich ja auch gemacht:
[mm]..=\left(\bruch{1}{12}p3^{4}-\bruch{1}{12}3^{3}-\bruch{1}{4}p^{3}3^{2}+3*3\right)-0
=\bruch{27}{4}p-\bruch{9}{4}-\bruch{9}{4}p^{3}+9
=\bruch{9}{4}p^{3}+\bruch{27}{4}p+\bruch{27}{4}[/mm]
also ich denk des passt so?!
hab nur etwas anderst geordnet
mfg, Michael
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Hallo, die Klammer stimmt noch, Klammer aufgelöst auch, aber dann verbasselst du das minus vor [mm] \bruch{9}{4}p^{3}, [/mm] Steffi
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hi,
ok..minus vergessen...
damit:
[mm] p_1=1 [/mm] ---> Maximum
[mm] p_2=-1 [/mm] ---> Mimimum
damit weiß ich jetzt, dass für p=1 die größte Fläche herauskommt.
jetzt nurnoch F(1) berechnen, dann dürfte ich den größten Flächeninhalt haben
Ich bekomme dann 11,25 heraus, stimmt das?
danke der Hilfe! :)
mfg, michael
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Ameise |
hi!
ich hab 15,75 raus wenn ich die Integrierte Funktion einsetze?? Aber vom Prinzio her müsste es jetzt passen.
Viele Grüße
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Hallo, p=1 ist korrekt, die Fläche beträgt 11,25 FE, hast du auch korrekt, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Ameise |
Hi!
Ja du kannst die Funktion f(x) einmal nach x ableiten. Dann erhälst du f'(x) in das du die grenzen (0-3 ) einsetzt. Damit erhältst du eine Funktion die nur noch von p abhängt. Diese Funktion leitest du dann nach p ab. Diese Ableitung setzt du dann gleich null. Um zu überprüfen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt kannst du die zweite Ableitung der Funktion f(p) ausrechnen.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Adamantin |
War auch meine Idee, aber leider hast du nach x ableiten geschrieben und nicht aufleiten (ja ist verhasst), nach x integrieren, also hab ichs nochmal geschrieben :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Ameise |
jo! Stimmt! Integrieren! und dann danach ableiten!
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