Fläche zwischen Graph u. Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Toyah21 |
| Aufgabe | Berechne den Inhalt der Fläche zwischen Graph (f) und x-Achse über dem Intervall (a;b)
[mm] 1.)f(x)=x^2-3x [/mm] (-1;4)
[mm] 2.)f(x)=x^3-2x^2 [/mm] (-1;3)
3.)f(x)=cos (x) (0;2) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Bräuchte dringend Hilfe...
Habe bei 1 bereits gegrübelt und bin auf folgendes gekommen:
x1/2= 3/2 [mm] \pm \wurzel{(3/2)^2}
[/mm]
x1= 1,5+1,5= 3
x2=1,5-1,5= 0
F(x) = [mm] 1/3x^3-(3/4x)
[/mm]
wäre jetzt eg=
[mm] |\integral_{-1}^{0}{f(x) dx}|+ |\integral_{0}^{1}{f(x) dx}|+|\integral_{1}^{2}{f(x) dx}|+|\integral_{2}^{3}{f(x)dx}|+ |\integral_{3}^{4}{f(x) dx}| [/mm]
Allerdings kommt bei mir da 9455/33456 raus...?!..
bei aufgabe 2 ähnliches...aber bei aufgabe 3 habe ich keine ahnung...kann mir da jmd. vllt. einen Tipp geben?
Dankö
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:56 Sa 07.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechne den Inhalt der Fläche zwischen Graph (f) und
> x-Achse über dem Intervall (a;b)
>
> [mm]1.)f(x)=x^2-3x[/mm] (-1;4)
> [mm]2.)f(x)=x^3-2x^2[/mm] (-1;3)
> 3.)f(x)=cos (x) (0;2)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zu 1:
Du musst das Integral [mm] \integral_{-1}^{4}x²-3x [/mm] bestimmen
Die Stammfunktion F(x) von x²-3x ist hier [mm] F(x)=\bruch{1}{3}x³-\bruch{3}{2}x²
[/mm]
Also
[mm] \integral_{-1}^{4}x²-3x=[\bruch{1}{3}x³-\bruch{3}{2}x²]_{-1}^{4}=\bruch{1}{3}4³-\bruch{3}{2}4²-\bruch{1}{3}(-1)³+\bruch{3}{2}(-1)²=\bruch{64}{3}-24+\bruch{1}{3}+\bruch{3}{2}=...
[/mm]
Für die anderen Teilaufgaben gilt:
[mm] f(x)=x^3-2x^2\Rightarrow F(x)=\bruch{1}{4}x^{4}-\bruch{2}{3}x³
[/mm]
und
[mm] f(x)=cos(x)\Rightarrow [/mm] F(x)=sin(x)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Toyah21 |
Mhmm..danke für deine Antwort:....
also b konnte ich jezt gut lösen bei a..komisches ergebnis : 17/56.... naja und bei c?...
wie sollen da die grzenen sein? und wie soll man das nullseltzen?
0= cos?...
das is komisch....
mhm...
vllt jemand ne gute idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Sa 07.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nachmal
Was willst du denn da Nullsetzen??
Also Gesucht ist:
[mm] \integral_{0}^{2}cos(x)
[/mm]
Also: f(x)=cos(x) [mm] \Rightarrow [/mm] F(x)=sin(x)
Daraus Folgt:
[mm] \integral_{0}^{2}cos(x)=[sin(x)]_{0}^{2}=sin(2)-sin(0)=sin(2)\approx0,9
[/mm]
Denk daran, dass du im Bogenmass rechnest.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Toyah21 |
hallo nochmal...
meine frage war eg. wie du da auf
die 0 und 2 gekommen bist (also ober und untergrenze...)--
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Sa 07.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Weil die in deiner Aufgabenstellung so gegeben waren. Das Intervall [a;b] ist in diesem Fall (0;2)
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Dunbi |
Kennst du eigentlich die Ableitungs- Aufleitungsregeln für sinus- und cosinus-Funktionen?
Hier ist sie:
sin (x) --> cos (x) --> -sin(x) --> -cos(x) --> sin(x) || Ableiten
sin (x) <-- cos (x) <-- -sin(x) <-- -cos(x) <-- sin(x) || Aufleiten
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Hallöchen!
Da ich im Moment ähnliche Aufgaben berechne habich mich mal rangesetzt und bei a. jetzt - 4,5 raus...
Ist das richtig oder sag ich Toyah damit was falsches?
...mhm...
schönes Wochenende
Kitty
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 So 08.10.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Kitty,
> Hallöchen!
> Da ich im Moment ähnliche Aufgaben berechne habich mich
> mal rangesetzt und bei a. jetzt - 4,5 raus...
Bei dem Integral, das Marius angeben hat, kommt nach meiner Rechnung $ -\ [mm] \bruch{5}{6} [/mm] $ heraus. Aber das ist nicht der Flächeninhalt, sondern eine Flächendifferenz. Du musst erst die Nullstellen berechnen, da du bei der Flächenberechnung von unter der x-Achse liegenden Flächen den Betrag der Integrale nehmen musst, es sei denn ihr rechnet mit orientierten Flächen. Das ist aber nicht üblich.
Dir einen schönen Sonntag
Gruß
Sigrid
>
> Ist das richtig oder sag ich Toyah damit was falsches?
>
> ...mhm...
>
> schönes Wochenende
>
> Kitty
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 So 08.10.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Tojah,
> Berechne den Inhalt der Fläche zwischen Graph (f) und
> x-Achse über dem Intervall (a;b)
>
> [mm]1.)f(x)=x^2-3x[/mm] (-1;4)
> [mm]2.)f(x)=x^3-2x^2[/mm] (-1;3)
> 3.)f(x)=cos (x) (0;2)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
> Bräuchte dringend Hilfe...
> Habe bei 1 bereits gegrübelt und bin auf folgendes
> gekommen:
>
> x1/2= 3/2 [mm]\pm \wurzel{(3/2)^2}[/mm]
>
> x1= 1,5+1,5= 3
> x2=1,5-1,5= 0
Die Nullstellen sind richtig. Allerdings wärest du durch Ausklammern schneller ans Ziel gekommen.
>
> F(x) = [mm]1/3x^3-(3/4x)[/mm]
Hier hast du dich vertan:
$ F(x) = [mm] \bruch{1}{3} x^3 [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}x^2 [/mm] $
>
> wäre jetzt eg=
> [mm]|\integral_{-1}^{0}{f(x) dx}|+ |\integral_{0}^{1}{f(x) dx}|+|\integral_{1}^{2}{f(x) dx}|+|\integral_{2}^{3}{f(x)dx}|+ |\integral_{3}^{4}{f(x) dx}|[/mm]
Das ist richtig, allerdings kannst du die mittleren Integrale zusammenfassen, da im Intervall ]0; 3[ keine Nullstelle liegt. Also
$ A = [mm] |\integral_{-1}^{0}{f(x) dx}|+ |\integral_{0}^{3}{f(x) dx}|+ |\integral_{3}^{4}{f(x) dx}| [/mm] $
>
> Allerdings kommt bei mir da 9455/33456 raus...?!..
Ich habe $ 8 [mm] \bruch{1}{6} [/mm] $ heraus, kann aber nicht garantieren, dass mir kein Rechenfehler unterlaufen ist.
>
> bei aufgabe 2 ähnliches...
>
richtig: Nullstellen ausrechnen und danach die Teilintegrale bestimmen.
> aber bei aufgabe 3 habe ich keine
> ahnung...kann mir da jmd. vllt. einen Tipp geben?
Auch hier musst du prüfen, ob es im Intervall [0; 2] Nullstellen gibt. Eine Nullstelle ist
$ x = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] $
Also
$ A = [mm] |\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{f(x) dx}| [/mm] + [mm] |\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{2}{f(x) dx}| [/mm] $
Beim ersten Integral kannst du die Betragstriche auch weglassen, da das Integral positiv ist.
Gruß
Sigrid
>
> Dankö
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 So 08.10.2006 | | Autor: | Toyah21 |
Danke, dass ihr mir alle so nett helft...
ich hab jetzt versucht alle fehlerzu korrigieren und habe nun folgende ergebnisse:
a.) 8 1/6
b.)1 1/3
und c ) 0,03 ...das letzte scheint mir comis (war ds mit dem sinus...)..wäre vllt . jemand so lien das mal zu überprüfen?
wäre ganz ganz toll!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 So 08.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die ersten beiden Ergebnisse sehen gut aus.
Nun nochmal zu c)
[mm] A=|\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)dx}|+|\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{2}{cos(x)dx}|
[/mm]
Was ja inzwischen klar sein sollte.
Auch solltest duinzwischen wissen, dass sin(x)'=cos(x), also ist sin(x) eine Stammfunktion von cos(x)
Also gilt:
[mm] |\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)dx}|+|\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{2}{cos(x)dx}|
[/mm]
[mm] =|[sin(x)]_{0}^{\bruch{\pi}{2}}|+|[sin(x)]_{\bruch{\pi}{2}}^{2}|
[/mm]
[mm] =|[sin(\bruch{\pi}{2})-sin(0)]|+|[sin(2)-sin(\bruch{\pi}{2})]|
[/mm]
[mm] =|1-0|+|\underbrace{sin(2)-1}_{<0}|
[/mm]
=1+[-(sin(2)-1)]
=1-sin(2)+1
[mm] =\red{2}-sin(2)
[/mm]
Das kannst du jetzt ausrechnen, aber bitte im Bogenmass
EDIT: Ich - oder Besser Sigrid - habe noch eine Fehler gefunden und ich habe ihn verbessert (rot Markiert).
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 So 08.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Fehler ist korrigiert, danke für den Hinweis, Sigrid
Marius
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