Fläche zwischen 2 Funktionen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche der beiden Funktionen:
a(x)= [mm] 1/(1+x^2)-(1/2) [/mm] und b(x)= [mm] x^2-1 [/mm] |
Hallo zusammen,
mir ist der Ablauf klar nur habe ich so meine Probleme mit diesen beiden Funktionen.
Zunächst muss ich die Funktionen gleichsetzen und versuchen die Schnittstellen zu berechne.
Also [mm] 1/(1+x^2)-(1/2) [/mm] = [mm] x^2-1
[/mm]
Hier haenge ich schon, wie stell ich diese gleichung nun nach 0 um, um dann die abc formel anwenden zu können?
Mit einem Funktionsplotter im Inet hab die Nullstellen schon grafisch bestimmt die sind -1 und 1, daher weiß ich auch das mein Rechenweg beim umstellen irgendwie falsch sein muss.
2. Frage: wenn ich den ersten Teil der a funktion also [mm] 1/(1+x^2) [/mm] integriere, erhalte ich arctan x ... muss ich das nun im grad oder bogenmaß im taschenrechner eingeben wenn ich das in den grenzen 1 bis -1 berechnen will ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 So 26.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche der beiden
> Funktionen:
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> a(x)= [mm]1/(1+x^2)-(1/2)[/mm] und b(x)= [mm]x^2-1[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> mir ist der Ablauf klar nur habe ich so meine Probleme mit
> diesen beiden Funktionen.
>
> Zunächst muss ich die Funktionen gleichsetzen und
> versuchen die Nullstellen zu berechne.
>
> Also [mm]1/(1+x^2)-(1/2)[/mm] = [mm]x^2-1[/mm]
>
> Hier haenge ich schon, wie stell ich diese gleichung nun
> nach 0 um, um dann die abc formel anwenden zu können?
Es gilt:
[mm] x^2-1=(x+1)(x-1)
[/mm]
Gruß
DieAcht
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[mm] 1/(1+x^2) [/mm] -1/2 = [mm] x^2-1 [/mm] / +1 [mm] -x^2
[/mm]
-> [mm] 1/(1+x^2) -x^2+ [/mm] 1/2 = 0 /* [mm] (1+x^2)
[/mm]
-> 1 - [mm] x^2 [/mm] * [mm] (1+x^2) [/mm] + 1/2 * [mm] (1+x^2) [/mm] = 0 / Ausmultiplizieren
-> 1 - [mm] x^2-x^4+1/2+1/2 [/mm] * [mm] x^2 [/mm] = 0 /Zusammenfassen
-> [mm] -x^4 [/mm] - 1/2 [mm] x^2 [/mm] + 3 /2 = 0 / * 2
-> [mm] -2x^4 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + 3 = 0
Wenn ich das ganze jetzt aber in die abc Formel einsetze:
[mm] x_{1/2} [/mm] = {1+- [mm] \wurzel{-1^2+4*-2*3}}/ [/mm] 2* -2
erhalte ich:
[mm] x_1 [/mm] = {1+5}/-4 = - 3/2
[mm] x_2 [/mm] = {1-5}/-4 = 1
Im Funktionsplotter werden als Schnittpunkte aber -1 und 1 angegeben, wo liegt mein Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 So 26.01.2014 | | Autor: | moody |
> -> [mm]-2x^4[/mm] - [mm]x^2[/mm] + 3 = 0
Hier sieht man ja schon, dass 1 und -1 Nullstellen sind, also bis hierhin passts wohl.
> Wenn ich das ganze jetzt aber in die abc Formel einsetze:
Hast du beachtet dass du dafür [mm] x^2 [/mm] = z substituieren musst und das doe Lösungen die du erhälst noch rücksubstituiert werden müssen?
so ist [mm] $z_1 [/mm] = 1 = [mm] x^2 [/mm] $
Und du erhälst deine gesuchten Nullstellen.
Aus [mm] $z_2$ [/mm] ergeben sich komplexe Nullstellen.
lg moody
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Danke für den Tipp mit der Substitution, hatte ich irgendwie ganz übersehen.
dann ist [mm] z_1 [/mm] = +- [mm] \wurzel [/mm] {1} (also die gesuchten Nullstellen)
jetzt hab ich aber noch das Problem mit der zweiten Lösung also [mm] z_2 [/mm] = +- [mm] \wurzel [/mm] {3/2} wenn ich das rücksubstituiere. Wieso soll ich da komplexe Lösungen erhalten und wiefern sind diese für meine Rechnung relevant bzw. warum irrelevant?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 So 26.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Danke für den Tipp mit der Substitution, hatte ich
> irgendwie ganz übersehen.
>
> dann ist [mm]z_1[/mm] = +- [mm]\wurzel[/mm] {1} (also die gesuchten
> Nullstellen)
>
> jetzt hab ich aber noch das Problem mit der zweiten Lösung
> also [mm]z_2[/mm] = +- [mm]\wurzel[/mm] {3/2} wenn ich das rücksubstituiere.
Du erhältst folgendes:
[mm] x_3=-i\sqrt{\frac{3}{2}}
[/mm]
[mm] x_4=i\sqrt{\frac{3}{2}}
[/mm]
> Wieso soll ich da komplexe Lösungen erhalten und wiefern
> sind diese für meine Rechnung relevant bzw. warum
> irrelevant?
Diese sind irrelevant, da du dich nur auf das Bild in [mm] \IR [/mm] beziehst.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
DieAcht
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Vielen Dank für die Erklärung.
Wir hatten komplexe Zahlen bisher noch nicht. Ich hab im inet nachgelesen das i = [mm] \wurzel{-1} [/mm] ist ... aber wieso soll bei [mm] x_3 [/mm] = + [mm] \wurzel{3/2} [/mm] = i * [mm] \wurzel{3/2} [/mm] rauskommen und nicht einfach 1,2247 ... ?
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Hallo daSilva67,
> Vielen Dank für die Erklärung.
>
> Wir hatten komplexe Zahlen bisher noch nicht. Ich hab im
> inet nachgelesen das i = [mm]\wurzel{-1}[/mm] ist ... aber wieso
> soll bei [mm]x_3[/mm] = + [mm]\wurzel{3/2}[/mm] = i * [mm]\wurzel{3/2}[/mm] rauskommen
> und nicht einfach 1,2247 ... ?
Weil [mm]a\left(\wurzel{\bruch{3}{2}}\right)\not=b\left(\wurzel{\bruch{3}{2}}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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