Fläche von Kreisscheiben < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei $Z := [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3 \, | \, 0 < z < 1, x^2+y^2=z^6\}$. [/mm] Berechnen Sie die Fläche von $Z$. |
Hallo zusammen,
ich möchte die Fläche der obigen Figur bestimmen und habe hier meinen Ansatz.
Ich wähle zunächst eine Parametrisierung mit Zylinderkoordinaten:
[mm] $\psi: [/mm] (0,1) [mm] \times [/mm] (0, [mm] 2\pi) \rightarrow [/mm] Z: [mm] (z,\varphi) \mapsto (z^3\cos\varphi, z^3\sin\varphi, [/mm] z)$
Nun bestimme ich ja für dieses Oberflächenintegral die Determinante der Gramschen Matrix, welche in diesem Fall [mm] $\det g_{ij} [/mm] = [mm] 9z^{10} [/mm] + [mm] z^6$ [/mm] ist.
Folgender Ansatz für das Integral bringt mich jedoch ins Stocken:
[mm] $\int_Z [/mm] 1 dS = [mm] \int_0^1 \int_0^{2\pi} \sqrt{9z^{10}+z^6} \, d\varphi \, [/mm] dz = [mm] 2\pi \cdot \int_0^1 \sqrt{9z^{10}+z^6} [/mm] = ??$
Ist dieser Ansatz korrekt oder ist dies bereits eine Anhäufung von Fehlern?
Grüße
Joe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Mo 06.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
sieht soweit gut aus. Weiter geht es nun mit einer Substitution [mm] ($x:=9z^4+1$).
[/mm]
Liebe Grüße
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Hallo andyv,
danke für deine Antwort.
Dann weiter im Text:
[mm] $2\pi \cdot \int_0^1 \sqrt{9z^{10}+z^6} \overset{Sub}{=} 2\pi \cdot \int_1^{10} \sqrt{xz^6} \cdot \frac{dx}{36z^3} [/mm] = [mm] \frac{\pi}{18} \cdot \int_1^{10} \sqrt{x} [/mm] dx = [mm] \frac{\pi}{18} \cdot \frac{2}{3} \left[\sqrt{x^3}\right]_1^{10} [/mm] = [mm] \frac{\pi}{27} \cdot (10\sqrt{10} [/mm] - 1)$
Dies wäre also die komplette Fläche der Figur, da es hier keinerlei "Deckel" gibt oder?
Grüße
Joe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Mo 06.10.2014 | | Autor: | andyv |
Gut, an der Rechnung habe ich nichts auszusetzen, vielleicht aber noch zu einem Detail: Mit deiner Parametrisierung kannst du natürlich nicht ganz Z überdecken, was letztlich aber kein Problem darstellt, weil die fehlende Menge eine Nullmenge ist. Die Situation liegt häufig vor, wenn man über Mannigfaltigkeiten integriert.
Liebe Grüße
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