Fläche von Ellip per DoppelInt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Sven.H |
| Aufgabe | | Berechne den Flächeninhalt der Ellipse, deren Rand durch die Gleichung [mm] $x^{2}+4xy+6y^{2}=1$ [/mm] beschrieben wird |
Hallo!
Ich habe folgendes Problem bei der Aufgabe oben:
Ich möchte die Funktion gerne in eine explizite Form bringen (y(x)=...) damit ich die Randwerte für das Doppelintegral bestimmen kann um den Flächeninhalt auszurechnen.
Ich bekomme Sie aber nicht nach y aufgelöst wegen der $4xy$
Ich habe mich mit dem Satz der impliziten Funktion beschäftigt, aber nicht wirklich verstanden. Ist das der richtige Ansatz um die explizite Form dieser Ellipse zu bekommen bzw um überhaupt den Flächeninhalt zu bestimmen?
Danke!
*Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.*
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> Berechne den Flächeninhalt der Ellipse, deren Rand durch
> die Gleichung [mm]x^{2}+4xy+6y^{2}=1[/mm] beschrieben wird
> Hallo!
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> Ich habe folgendes Problem bei der Aufgabe oben:
> Ich möchte die Funktion gerne in eine explizite Form
> bringen (y(x)=...) damit ich die Randwerte für das
> Doppelintegral bestimmen kann um den Flächeninhalt
> auszurechnen.
>
> Ich bekomme Sie aber nicht nach y aufgelöst wegen der [mm]4xy[/mm]
> Ich habe mich mit dem Satz der impliziten Funktion
> beschäftigt, aber nicht wirklich verstanden. Ist das der
> richtige Ansatz um die explizite Form dieser Ellipse zu
> bekommen bzw um überhaupt den Flächeninhalt zu
> bestimmen?
>
> Danke!
Für die Flächenberechnung gibt es hier verschie-
dene Methoden:
1.) Du könntest die Gleichung tatsächlich nach y
auflösen. So käme man auf eine obere Rand-
funktion [mm] $y_1(x)=\frac{1}{6}\left(\sqrt{6-2\,x^2\,}-2\,x\right)$ [/mm] und die
entsprechende untere Randfunktion [mm] y_2(x).
[/mm]
So hat man gar kein Doppelintegral, sondern
nur ein einfaches Integral zu berechnen.
Trotzdem würde ich diesen Weg nicht empfehlen.
2.) Hauptachsentransformation mit dem Ziel, die
Längen a und b der Halbachsen zu bestimmen.
Dann ist [mm] F=\pi*a*b [/mm] .
3.) Affine Transformation, um das lästige gemischte
Glied loszuwerden und z.B. die Ellipse in einen
Kreis zu verwandeln. Bei der Flächenberechnung
muss dann die Determinante der Transformations-
matrix als Umrechnungsfaktor benützt werden.
LG Al-Chw.
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