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| Aufgabe | 1) [mm] y=x^{2}, 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
a) Berechnen Sie diese Fläche als Grenzwert der Riemannsummen [mm] y_{1}\Deltax+...+y_{n}\Deltax [/mm] zur Zerlegung [mm] x_{k}=k*(1/n), [/mm] k=0,1,2,...,n, mit den Zwischenwerten [mm] y_{k}=x_{k-1}x_{k}.
[/mm]
b) Zur Zusammenfassung der Summen können die Formeln 2*(1+2+3+...+)=n*(n+1) und 3*(1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1))=n*(n+1)*(n+2) benutzt werden. Leiten Sie diese Formeln auch her. |
Hallo,
Also, es soll die Riemannsumme aufgestellt werden, aber soll dafür das linke oder das rechte Zwischenintervallende genommen werden? Es steht
[mm] "x_{k}=k*(1/n), [/mm] k=0,1,2,...,n."
Müsste nicht, wenn das linke Zwischenintervallende genommen wird, um die Rechtecke zu berechnen, das letzt n wegfallen und wenn das rechte genommen wird, die 0? Und was bedeutet in dieser Aufgabe
"mit den Zwischenwerten [mm] y_{k}=x_{k-1}x_{k}."
[/mm]
Was soll das bedeuten? Ist da ein "*" dazwischen oder eigentlich ein Komma, oder wie? So ergibt das für mich jedenfalls keinen Sinn.
Kann mir jemand einen Hinweis geben??
Viele Grüße,
Anna
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> 1) [mm]y=x^{2}, 0\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
> a) Berechnen Sie diese Fläche als Grenzwert der
> Riemannsummen [mm]y_{1}\Deltax+...+y_{n}\Deltax[/mm] zur Zerlegung
> [mm]x_{k}=k*(1/n),[/mm] k=0,1,2,...,n, mit den Zwischenwerten
> [mm]y_{k}=x_{k-1}x_{k}.[/mm]
>
> b) Zur Zusammenfassung der Summen können die Formeln
> 2*(1+2+3+...+)=n*(n+1) und
> 3*(1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1))=n*(n+1)*(n+2) benutzt werden.
> Leiten Sie diese Formeln auch her.
> Hallo,
> Also, es soll die Riemannsumme aufgestellt werden, aber
> soll dafür das linke oder das rechte Zwischenintervallende
> genommen werden? Es steht
>
> [mm]"x_{k}=k*(1/n),[/mm] k=0,1,2,...,n."
Hallo,
das Intervall [0,1] wird zerlegt in n Teilintervalle [mm] [x_k,x_{k+1}], [/mm] und die Intervallanfänge/enden sind eben
[mm] x_0=0
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{2}{n}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] x_n=\bruch{n}{n}=1
[/mm]
n+1 Punkte, das gibt n Intervalle.
Du sollst nun weder Die Obersumme (mit dem Funktionswert des Endpunktes) noch die Untersumme (mit dem Funktionswert des Anfangspunktes) berechnen,
sondern Du sollst das mit einem Wert tun, der zwischen [mm] f(x_k)=x_k^2 [/mm] und [mm] f(x_{k+1})=(x_{k+1})^2 [/mm] liegt, nämlich
> "mit den Zwischenwerten [mm]y_{k}=x_{k-1}x_{k}."[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo, danke erstmal,
also, soll man genau den Mittelwert nehmen, also immer (1/2)*n usw., oder tatsächlich so die Riemannsumme aufstellen:
Rn:= [mm] x_{0}*x_{1}*(1/n)+x_{1}*x_{2}*(1/n)+...+x_{n-1}*x_{n}*(1/n)
[/mm]
Rn:= [mm] (1/n)*(0+(2/n^{2})+(6/n^{2})+...+((n-1)/n))
[/mm]
Aber da stimmt auch irgendwas mit dem Anfang und dem Ende nicht, oder??
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Di 23.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Anna
> Hallo, danke erstmal,
> also, soll man genau den Mittelwert nehmen, also immer
> (1/2)*n usw., oder tatsächlich so die Riemannsumme
> aufstellen:
> Rn:=
> [mm]x_{0}*x_{1}*(1/n)+x_{1}*x_{2}*(1/n)+...+x_{n-1}*x_{n}*(1/n)[/mm]
>
> Rn:= [mm](1/n)*(0+(2/n^{2})+(6/n^{2})+...+((n-1)/n))[/mm]
Dies Formel und die darueber haben ja nichts miteinander zu tun!
Du schreibst oben das hin, was in der Aufgabe steht, unten das was ihr bisher gemacht habt, naemlich immer die Funktionswerte am Anfang (oder Ende) des Intervalls mit der Intervalllaenge multipl.
Du sollst aber NICHT den FktWert am Anfang oder am Ende nehmen, sondern einen dazwischen.
und zwar liegt [mm] \wurzel{x_k*x_{k+1}} [/mm] zwischen [mm] x_k [/mm] und [mm] x_{k+1} [/mm] (geometrisches Mittel) Am besten zeichnest dus mal auf, nimm n=7 und mach dir klar, was du rechnen willst. Daer Funktionswert an der Stelle [mm] x=\wurzel{x_k*x_{k+1}} [/mm] ist dann natuerlich [mm] f(x)=x^2=x_k*x_{k+1}
[/mm]
Kurz du musst die entsprechenden [mm] x_k [/mm] in die obere formel einsetzen [mm] x_k*x_{k+1}=n/k*n/(k+1)
[/mm]
jetzt klarer?
Wahrscheinlich ist die Aufgabe dazu da, dass du siehst, dass man nicht immer nur diee Funktionswerte am anfang oder Ende des Intervalls nehmen musst, sondern irgendwelche dazwischen es auch tun. wegen des Quadrates ist dabei das geometrische Mittel geeignet.
Gruss leduart
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Hallo,
ja ok, das verstehe ich schon, glaube ich, aber wie man dann auf
[mm]x_k*x_{k+1}=n/k*n/(k+1)[/mm]
kommt, verstehe ich nicht.
Ich stelle die Riemannsumme auf:
[mm] Rn:=f(\wurzel{x_{0}*x_{1}})*(1/n)+f((\wurzel{x_{1}*x_{2}})*(1/n)+...+f((\wurzel{x_{n-1}*x_{n}})*(1/n)
[/mm]
Oder ist das schon falsch??
Jetzt ist [mm] f(x)=x^{2} [/mm] und ich klammere (1/n) aus, und dann habe ich:
[mm] Rn:=(1/n)*(x_{0}*x_{1}+x_{1}*x_{2}+...+x_{n-1}*x_{n}) [/mm]
und nun ist doch [mm] x_{0}=0, [/mm] oder? Wahrscheinlich liegt da jetzt mein Fehler, aber ich weiß nicht recht warum, denn die Grenzen sind doch 0 und 1. [mm] x_{1}=(1/n)?? [/mm] Ist das richtig? Vermutlich nicht, aber ist doch der Wert von 0 bis zum ersten Intervallenden, oder? Oder ist jetzt [mm] x_{1} [/mm] der Wert von 0 bis zur Zwischenstelle [mm] (\wurzel{x_{0}*x_{1}})? [/mm] Aber das kann doch eigentlich auch nicht sein.
Kann mir da jemand einen Tipp geben, wie das wohl ist??
Viele Grüße,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Di 23.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x_0=0 [/mm] ist richtig, aber was setzt du fuer x1, x2,... ein, erst dann kannst du anfangen zu rechnen!
Gruss leduart
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Hallo,
genau das ist ja mein Problem. Ich weiß nicht, was ich für [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] usw. einsetzen soll. Ich würde ja denken ich setze dafür (1/n), (2/n), etc. ein. Ist das falsch??
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mi 24.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, das ist richtig. Zeichne es bitte gross auf!
Du willst doch ne Anzahl von Treppenstufen.
die erste hat die Hoehe o und geht von 0 bis 1/n.
Die zweite hat die Hoehe x1*x2 und geht von x1 bis x2 also von 1/n bis 2/n
die Dritte hat die Hoehe x2*x3=2/n*3/n und geht von x2 bis x3
usw. usw.die letzte hat die Hoehe [mm] x_{n-1}*x_n=(n-1)/n*1
[/mm]
Bitte zeichne das jetzt wirklich auf!
Dann verstehst du auch besser was du rechnen sollst!
nimm etwa fuer die Zeichnung n=5
die Breite all dieser kleinen Dreiecke ist 1/n ihre Hoehe wie ich angegeben habe, und du jetzt hoffentlich siehst.
Jetzt sollst du die alle addieren!
Gruss leduart
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Hallo,
ok, habe ich aufgezeichnet. dann ist die Summe:
Rn:= (0*(1/n))*(1/n)+((1/n)*(2/n))*(1/n)+((2/n)*(3/n))*(1/n)+...+(((n-1)/n)*(n/n))*(1/n)
Aber dann habe ich doch wieder wenn ich (1/n) ausklammere:
Rn:= [mm] (1/n)*(0+(2/n^{2})+(6/n^{2})+(12/n^{2})+...+((n-1)/n)*1)
[/mm]
Oder was ist jetzt daran falsch? Das sind doch jetzt immer die Werte [mm] \wurzel{x_{1}*x_{2}} [/mm] eingesetzt in [mm] f(x)=x^{2} [/mm] und dann mit der Breite [mm] \Delta [/mm] x=(1/n) malgenommen.
Ist das so richtig?
Viele Grüße,
Anna
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> Hallo,
> ok, habe ich aufgezeichnet. dann ist die Summe:
>
> Rn:=
> (0*(1/n))*(1/n)+((1/n)*(2/n))*(1/n)+((2/n)*(3/n))*(1/n)+...+(((n-1)/n)*(n/n))*(1/n)
> Aber dann habe ich doch wieder wenn ich (1/n)
> ausklammere:
>
> Rn:=
> [mm](1/n)*(0+(2/n^{2})+(6/n^{2})+(12/n^{2})+...+((n-1)/n)*1)[/mm]
>
> Oder was ist jetzt daran falsch? Das sind doch jetzt immer
> die Werte [mm]\wurzel{x_{1}*x_{2}}[/mm] eingesetzt in [mm]f(x)=x^{2}[/mm] und
> dann mit der Breite [mm]\Delta[/mm] x=(1/n) malgenommen.
Hallo,
man könnte das wirklich besser lesen, wenn Du richtige Brüche schreiben würdest.
Den letzten Summanden würde ich lieber als [mm] \bruch{(n-1)n}{n^2} [/mm] schreiben.
Ausführlich aufgeschrieben hast Du nun dort stehen:
[mm] R_n=\bruch{1}{n^3}(1*2+2*3+3*4+...+(n-1)n)
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo,
sorry, das hatte ich bisher noch gar nicht gesehen, dass man auch richtige Brüche schreiben kann...
Ok, und jetzt muss ich das nur noch in diese Formel bekommen. Das geht nicht anders, als dass ich das ganze mal 3 nehme und [mm] \bruch{1}{n^{3}})*(n*(n+1)) [/mm] addiere, oder?
Dann hätte ich:
Rn:= [mm] (\bruch{1}{n^{3}})*\bruch{3*(1*2+2*3+...+(n-1)*n+n*(n+1))}{3}-(\bruch{1}{n^{3}})*(n*(n+1))*(\bruch{1}{3})
[/mm]
und damit:
[mm] \bruch{1}{n^{3}}*(n*(n+1)*(n+2))*\bruch{1}{3}-(\bruch{1}{n^{3}})*(n*(n+1))*(\bruch{1}{3})
[/mm]
Oder geht das auch noch einfacher??
Viele Grüße,
Anna
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> [mm]\bruch{1}{n^{3}}*(n*(n+1)*(n+2))*\bruch{1}{3}-(\bruch{1}{n^{3}})*(n*(n+1))*(\bruch{1}{3})[/mm]
Hallo,
bestimmt! Kürzen, ausklammern ...
Gruß v. Angela
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