Fläche unter Tangente < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet | Datum: | 19:32 Sa 19.08.2006 | Autor: | zeusiii |
Aufgabe | Eine Parabel 3. Ordnung geht durch Origo also (0/0) und A (-9/0) und hat in W (-3/6) ihren Wendepunkt .
Wie groß ist die Fläche die sie mit der Tangente in A einschließt ? |
Hallo ,
Meine ersten Gedanken waren . Ich benötige zu allerst die Ursprungsfunktion um damit dann auch die Grenzen für die spätere Integralrechnung zu bestimmen .
Mein grosses Problem ist bei dieser Art von Aufgaben nicht die Integralrechnung ,die ja eigendlich immer nach der selben Masche abläuft ,sondern das rekonstruieren der Funktionen .
Erster Schritt:
Funktion 3 . Ordnung also muss die Funktion so aussehen :
f (x)= [mm] a*x^{3}+b*x^{2}+c*x+d
[/mm]
f ' (x)= 3 [mm] *a*x^{2} [/mm] + 2*b*x+ c
f ''(x)=6*a*x + 2 * b
zweiter Schritt :
vorhandene Hinweise in die Funktionen einsetzen :
Hinweise : (0 / 0 ) und Punkte A (-9 / 0 ) Wendestelle ( -3 / 6 )
I.) 0 = a * [mm] 0^3 [/mm] + b* 0 ^2 + c*0 + d // also d = 0
II.)0 = a * [mm] -9^3 [/mm] + b * -9 ^2 + c* -9 + 0
III.) 6 = a * -3 ^3 + b * -3 ^2 + c * - 3 + 0
IV.) 0 = 6* -3 + 2 * b
Die Bedingungen sind immer das Schwierigste ,meiner Meinung nach.
Wenn die Bedingungen so richtig sind ,wäre der nächste Schritt die Gleichungen mit dem Gaußalgo auszurechnen .
Sind sie das denn ? freue mich über ne Antwort .
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | Datum: | 19:38 Sa 19.08.2006 | Autor: | riwe |
wenn du einige klammern setzt, stimmt alles, bis auf IV), da fehlt das a.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | Datum: | 21:25 Sa 19.08.2006 | Autor: | zeusiii |
so die Funtion lautet :
f (x) = [mm] \bruch{1}{9}* x^{3} [/mm] + [mm] x^{2}
[/mm]
Was bedeutet jetzt aber " [...],die sie mit der Tangente in A einschließt ?" ?
heißt das vielleicht ,ich müsste die Tangente die durch den Punkt ( -3 / 6 ) geht berechnen ?
wenn ich die habe ,habe ich ja auch meine Grenzpunkte für das Integral oder?
freue mich über eine Antwort
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 23:06 Sa 19.08.2006 | Autor: | hase-hh |
moin,
ja das denke ich auch. du bestimmst die gleichung der tangente,
ermittelst dann die schnittpunkte der tangente mit der funktion und hast dein intervall...
lg
wolfgang
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Hallo!
> Was bedeutet jetzt aber " [...],die sie mit der Tangente in
> A einschließt ?" ?
>
> heißt das vielleicht ,ich müsste die Tangente die durch den
> Punkt ( -3 / 6 ) geht berechnen ?
Aber das ist doch nicht der Punkt A, oder? Der hieß doch irgendwie anders.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 09:39 So 20.08.2006 | Autor: | riwe |
da die kurve richtig berechnet ist, vermute ich, es soll heißen:
berechne die fläche, die die tangente im punkt A(-9/0) mit den koordinatenachsen einschließt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge: Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 10:28 So 20.08.2006 | Autor: | Sigrid |
Hallo Riwe
> da die kurve richtig berechnet ist, vermute ich, es soll
> heißen:
> berechne die fläche, die die tangente im punkt A(-9/0) mit
> den koordinatenachsen einschließt.
Nach Aufgabenstellung soll die Fläche zwischen der Tangente im Punkt A(-9|0) und der Kurve berechnet werden. Das heißt es müssen die gemeinsamen Punkte der Tangente mit der Kurve berechnet werden. Einer ist bekannt, nämlich A. Der 2. ist nach meiner Rechnung B(9|f(9)).
Gruß Sigrid
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 14:52 So 20.08.2006 | Autor: | riwe |
war ja nur ´ne frage
zur abwehr (vielleicht) sinnloser plage
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(Frage) beantwortet | Datum: | 12:01 So 20.08.2006 | Autor: | zeusiii |
So jetzt tun sich bei mir wieder Abgründe auf
Das erschien mir auch ganz logisch mit dem Punkt ( - 9 / 0) . Die Tangente läuft dadurch und der Raum den sie mit der darunterliegenden Parabel einschliesst soll berechnet werden .
Mein Problem ist jetzt ,ich bekomme einfach nicht die Tangentensteigung raus.
Ich habe folgendes gerechnet :
Der Punkt (-9 / 0 ) ist gegeben um die Steigung zu bekommen benötigt man ja 2 Punkte ,also ist der zweite Punkt ( -9 + h / ? )
um y zu bekommen setzt man diesen Wert in die Tangentenfunktion (erste Ableitung) ein.
f ' ( -9+h) = [mm] \bruch{1}{3} *(-9+h)^{2} [/mm] + 2 * (-9 +h )
= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (h^{2} [/mm] - 18*h + 81 ) -18 + 2 h
= [mm] \bruch{1}{3}*h^{2} [/mm] - 4*h + 9
dann ist das Ergebnis Punkt A ( -9/0)
und Punkt B ( - 9 + h / [mm] \bruch{1}{3}h^{2} [/mm] - 4 h + 9 )
es werden jetzt die Punkte voneinander abgezogen .
m = [mm] \bruch{y2 - y 1 }{x2 - x 1 }
[/mm]
in unserem Fall [mm] \bruch{(\bruch{1}{3}*h^2 -4h +9 )-(0)}{(-9+h)-(-9)}
[/mm]
ausgerechnet sieht es dann so aus : [mm] \bruch{\bruch{1}{3}*h^2 -4h +9 }{h}
[/mm]
und jetzt das h gegen 0 laufen lassen und man bekommt die Steigung , aber das Problem ist ,wenn ich das tuhe ergibt mein Freund der Limes die Steigung 0 .
Da ich das h unter dem Bruch nicht ausklammern konnte und somit auch nicht weggekürzt bekam .
Bin ich denn eigendlich auf dem richtigen Wege oder total falsch ?
freue mich über eine Antwort..
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(Antwort) fertig | Datum: | 12:10 So 20.08.2006 | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Mach es dir doch einfacher:
Die Tangemte ist eine Gerade der Form y= mx+b.
Jetzt kennst du einen Punkt, durch den die Gerade verläuft - den Berührpunkt, in deinem Fall also (-9/0).
Fehlt also nur noch eine weitere Bedingung, die Steigung:
Naja, Was gibt denn die Ableitung an einem Punkt an? Richtig - die Steigung der Tangente an dem Punkt.
Also: [mm] m_{t} [/mm] = f'(-9).
Jetzt kannst du danach auch b bestimen:
es gilt y = [mm] m_{t} [/mm] x +b
also hier. 0 = [mm] -9m_{t} [/mm] + b [mm] \Rightarrow [/mm] b = [mm] 9\underbrace{m_{t}}_{=f'(-9)} [/mm] = 9 * f´(-9).
Marius
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(Frage) beantwortet | Datum: | 13:13 So 20.08.2006 | Autor: | zeusiii |
es gilt y = $ [mm] m_{t} [/mm] $ x +b
also hier. 0 = $ [mm] -9m_{t} [/mm] $ + b $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ b = $ [mm] 9\underbrace{m_{t}}_{=f'(-9)} [/mm] $ = 9 * f´(-9).
ich versteh jetzt aber nicht wie du auf b = $ [mm] 9\underbrace{m_{t}}_{=f'(-9)} [/mm] $ = 9 * f´(-9) kommst .
ich habe f´(-9) gerechnet und erhalte die 9 ,diese 9 ist ja jetzt die Steigung und um nach der Tangentengleichung y = mx+b zu gehen ,setze ich diese Punkte ein .
0 = 9 * (-9) + b
81 = b
lautet die Tangentengleichung dann :
t(x) = 9*x + 81
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(Antwort) fertig | Datum: | 13:44 So 20.08.2006 | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Für die Fläche zwischen der Tangente und dem Graphen musst du zuerst einmal die Schnittpunkte berechnen.
Die Tangente nenne ich jetzt mal t(x), den Graphen f(x).
Schau dir mal den Graphen und die Tangente im Beitrag von riwe an:
Dann siehst du, dass in dem Bereich zwischen den Schnittpunkten gilt:
t(x) > f(x).
Also musst du folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral_{a}^{b}{(t(x) - f(x)) dx} [/mm] , wobei a und b die x-Koordinaten der Schnittpunkte sind.
Ein kleiner Tipp noch: a ist die x-Koordinate des Berührpunktes (-9/0)
Da das ganze (t(x)-f(x)) eine Funktion 3. Grades ist, musst du die erste Nullstelle nämlich "erraten", damit du die Polynomdivision durchführen kannst.
Marius
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(Frage) beantwortet | Datum: | 14:32 So 20.08.2006 | Autor: | zeusiii |
Hallo ,
Marius warum denn Polynomdivision ? es wäre doch bei einer Funktion 3. Grades : f(x) = [mm] \bruch{1}{9}x^{2} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] zwar möglich aber dennoch viel zu aufwendig .
einfach x-Ausklammern und schon kann man diese Prima mit PQ oder QE ausrechnen .
Aber ist sowieso nicht notwendig ,denn jetzt haben wir alle Informationen die wir brauchen .
Ist ein harter Weg gewesen ,aber jetzt nach den Sommerferien bin ich wieder voll bei der Sache .
So weitergerechnet habe ich folgendermaßen :
erst die Fläche der Tangente in dem Intervall [-9 ;0 ]
[mm] \integral_{-9}^{0}{t(9x+81) dx}
[/mm]
0
= [9/2 * [mm] x^{2} [/mm] + 81 * x + c ]
-9
die Werte eingesetzt
= (9/2 * 0 ^{2} + ... + c ) - ( 9/2 * [mm] (-9)^{2} [/mm] + 81 * (-9) + c )
= 0 - ( - [mm] \bruch{729}{2})
[/mm]
= [mm] \bruch{729}{2} [/mm] FE
dann davon die Fläche von f (x) im selben Intervall abziehen und ich
[mm] \integral_{-9}^{0}{t(9x+81) dx} [/mm] - [mm] (\integral_{-9}^{0}{f(\bruch{1}{9}*x^{3}+x^{2}) dx}
[/mm]
komme dann
auf das Ergebnis
= 303,75 FE
Falls dies in der Aufgabe so gemeint war
Dateianhänge: Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | Datum: | 14:57 So 20.08.2006 | Autor: | M.Rex |
Hast recht, ich habe mir die Funktion nicht konkret angeschaut, dein Weg ist der bessere.
Das Ergebnis sieht gut aus (Da du den TR bedienen kannst, rechne ich das mal nicht nach)
Marius
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(Antwort) fertig | Datum: | 08:01 Di 22.08.2006 | Autor: | Sigrid |
Hallo zeusiii,
> wie oben ?
> Hallo ,
>
> Marius warum denn Polynomdivision ? es wäre doch bei einer
> Funktion 3. Grades : f(x) = [mm]\bruch{1}{9}x^{2}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] zwar
> möglich aber dennoch viel zu aufwendig .
>
> einfach x-Ausklammern und schon kann man diese Prima mit PQ
> oder QE ausrechnen .
>
> Aber ist sowieso nicht notwendig ,denn jetzt haben wir alle
> Informationen die wir brauchen .
>
> Ist ein harter Weg gewesen ,aber jetzt nach den
> Sommerferien bin ich wieder voll bei der Sache .
>
> So weitergerechnet habe ich folgendermaßen :
>
> erst die Fläche der Tangente in dem Intervall [-9 ;0 ]
>
> [mm]\integral_{-9}^{0}{t(9x+81) dx}[/mm]
>
> 0
> = [9/2 * [mm]x^{2}[/mm] + 81 * x + c ]
> -9
>
> die Werte eingesetzt
>
> = (9/2 * 0 ^{2} + ... + c ) - ( 9/2 * [mm](-9)^{2}[/mm] + 81 *
> (-9) + c )
>
> = 0 - ( -
> [mm]\bruch{729}{2})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{729}{2}[/mm] FE
>
>
> dann davon die Fläche von f (x) im selben Intervall
> abziehen und ich
>
> [mm]\integral_{-9}^{0}{t(9x+81) dx}[/mm] -
> [mm](\integral_{-9}^{0}{f(\bruch{1}{9}*x^{3}+x^{2}) dx}[/mm]
>
> komme dann
>
>
>
> auf das Ergebnis
>
>
> = 303,75 FE
>
>
> Falls dies in der Aufgabe so gemeint war
Ich denke, so ist die Aufgabe nicht gemaint.
Aufgabe
Eine Parabel 3. Ordnung geht durch Origo also (0/0) und A (-9/0) und hat in W (-3/6) ihren Wendepunkt .
Wie groß ist die Fläche die sie mit der Tangente in A einschließt ?
Gesucht ist also die Fläche zwischen der Kurve $ k: f(x) = [mm] \bruch{1}{9}x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] $ und $ t: t(x) = 9x + 81 $
Dazu musst du die Schnittstellen berechnen. Also doch Polynomdivision.
Nach meiner Rechnung ist die 2. Schnittstelle, und damit die obere Grenze des Integrals [mm] x_s=9.
[/mm]
Also
[mm]\integral_{-9}^{9}{(9x+81) dx} - \integral_{-9}^{9}{(\bruch{1}{9}*x^{3}+x^{2}) dx}[/mm]
Gruß
Sigrid
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