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Forum "Integralrechnung" - Fläche unter Tangente
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Fläche unter Tangente: Parabel 3. Ordnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 Sa 19.08.2006
Autor: zeusiii

Aufgabe
Eine Parabel 3. Ordnung geht durch Origo also (0/0) und A (-9/0) und hat in W (-3/6) ihren Wendepunkt .
Wie groß ist die Fläche die sie mit der Tangente in A einschließt ?  

Hallo ,

Meine ersten Gedanken waren . Ich benötige zu allerst die Ursprungsfunktion um damit dann auch die Grenzen für die spätere Integralrechnung zu bestimmen .

Mein grosses Problem ist bei dieser Art von Aufgaben nicht die Integralrechnung ,die ja eigendlich immer nach der selben Masche abläuft ,sondern das rekonstruieren der Funktionen .

Erster Schritt:

Funktion 3 . Ordnung also muss die Funktion so aussehen :

f   (x)= [mm] a*x^{3}+b*x^{2}+c*x+d [/mm]
f ' (x)= 3 [mm] *a*x^{2} [/mm] + 2*b*x+ c
f ''(x)=6*a*x + 2 * b

zweiter Schritt :

vorhandene Hinweise in die Funktionen einsetzen :

Hinweise :  (0 / 0 )  und Punkte A (-9 / 0 )    Wendestelle ( -3 / 6 )

I.) 0 = a * [mm] 0^3 [/mm] + b* 0 ^2 + c*0 + d      //                          also   d = 0

II.)0 = a * [mm] -9^3 [/mm] + b * -9 ^2 + c* -9 + 0

III.) 6 = a * -3 ^3 + b * -3 ^2 + c * - 3 + 0

IV.) 0 = 6* -3 + 2 * b  



Die Bedingungen sind immer das Schwierigste ,meiner Meinung nach.

Wenn die Bedingungen so richtig sind ,wäre der nächste Schritt die Gleichungen mit dem Gaußalgo auszurechnen .

Sind sie das denn ?   freue mich über ne Antwort .

lg


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Fläche unter Tangente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Sa 19.08.2006
Autor: riwe

wenn du einige klammern setzt, stimmt alles, bis auf IV), da fehlt das a.

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Bezug
Fläche unter Tangente: Tangente finden ?
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:25 Sa 19.08.2006
Autor: zeusiii

Aufgabe
wie oben .

so die Funtion lautet :


f (x) =  [mm] \bruch{1}{9}* x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm]


Was bedeutet jetzt aber " [...],die sie mit der Tangente in A einschließt ?"  ?

heißt das vielleicht ,ich müsste die Tangente die durch den Punkt ( -3 / 6 ) geht berechnen ?


wenn ich die habe ,habe ich ja auch meine Grenzpunkte für das Integral oder?


freue mich über eine Antwort

  

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Bezug
Fläche unter Tangente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:06 Sa 19.08.2006
Autor: hase-hh

moin,

ja das denke ich auch. du bestimmst die gleichung der tangente,
ermittelst dann die schnittpunkte der tangente mit der funktion und hast dein intervall...

lg
wolfgang

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Bezug
Fläche unter Tangente: Punkt A?!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:28 Sa 19.08.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

> Was bedeutet jetzt aber " [...],die sie mit der Tangente in
> A einschließt ?"  ?
>  
> heißt das vielleicht ,ich müsste die Tangente die durch den
> Punkt ( -3 / 6 ) geht berechnen ?

Aber das ist doch nicht der Punkt A, oder? Der hieß doch irgendwie anders.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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Fläche unter Tangente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:39 So 20.08.2006
Autor: riwe

da die kurve richtig berechnet ist, vermute ich, es soll heißen:
berechne die fläche, die die tangente im punkt A(-9/0) mit den koordinatenachsen einschließt.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Fläche unter Tangente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:28 So 20.08.2006
Autor: Sigrid

Hallo Riwe

> da die kurve richtig berechnet ist, vermute ich, es soll
> heißen:
> berechne die fläche, die die tangente im punkt A(-9/0) mit
> den koordinatenachsen einschließt.

Nach Aufgabenstellung soll die Fläche zwischen der Tangente im Punkt A(-9|0) und der Kurve berechnet werden. Das heißt es müssen die gemeinsamen Punkte der Tangente mit der Kurve berechnet werden. Einer ist bekannt, nämlich A. Der 2. ist nach meiner Rechnung B(9|f(9)).

Gruß Sigrid

>  


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Bezug
Fläche unter Tangente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:52 So 20.08.2006
Autor: riwe

war ja nur ´ne frage
zur abwehr (vielleicht) sinnloser plage


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Fläche unter Tangente: wie komme ich zur Tangente?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:01 So 20.08.2006
Autor: zeusiii

Aufgabe
wie oben .

So jetzt tun sich bei mir wieder Abgründe auf :-)

Das erschien mir auch ganz logisch mit dem Punkt ( - 9 / 0) . Die Tangente läuft dadurch und der Raum den sie mit der darunterliegenden Parabel einschliesst soll berechnet werden .

Mein Problem ist jetzt ,ich bekomme einfach nicht die Tangentensteigung raus.

Ich habe folgendes gerechnet :

Der Punkt (-9 / 0 ) ist gegeben um die Steigung zu bekommen benötigt man ja 2 Punkte ,also ist der zweite Punkt  ( -9 + h / ? )

um y zu bekommen setzt man diesen Wert in die Tangentenfunktion (erste Ableitung) ein.
f ' ( -9+h) =   [mm] \bruch{1}{3} *(-9+h)^{2} [/mm] + 2 * (-9 +h )

                 = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (h^{2} [/mm] - 18*h + 81 ) -18 + 2 h

                 = [mm] \bruch{1}{3}*h^{2} [/mm] - 4*h + 9

dann ist das Ergebnis  Punkt A ( -9/0)

und Punkt B ( - 9 + h / [mm] \bruch{1}{3}h^{2} [/mm] - 4 h + 9 )

es werden jetzt die Punkte voneinander abgezogen .

m = [mm] \bruch{y2 - y 1 }{x2 - x 1 } [/mm]

in unserem Fall [mm] \bruch{(\bruch{1}{3}*h^2 -4h +9 )-(0)}{(-9+h)-(-9)} [/mm]

ausgerechnet sieht es dann so aus : [mm] \bruch{\bruch{1}{3}*h^2 -4h +9 }{h} [/mm]

und jetzt das h gegen 0 laufen lassen und man bekommt die Steigung , aber das Problem ist ,wenn ich das tuhe ergibt mein Freund der Limes die Steigung 0 .

Da ich das h unter dem Bruch nicht ausklammern konnte und somit auch nicht weggekürzt bekam .

Bin ich denn eigendlich auf dem richtigen Wege oder total falsch ?

freue mich über eine Antwort..



















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Fläche unter Tangente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 So 20.08.2006
Autor: M.Rex

Hallo,

Mach es dir doch einfacher:

Die Tangemte ist eine Gerade der Form y= mx+b.
Jetzt kennst du einen Punkt, durch den die Gerade verläuft - den Berührpunkt, in deinem Fall also (-9/0).
Fehlt also nur noch eine weitere Bedingung, die Steigung:
Naja, Was gibt denn die Ableitung an einem Punkt an? Richtig - die Steigung der Tangente an dem Punkt.

Also: [mm] m_{t} [/mm] = f'(-9).

Jetzt kannst du danach auch b bestimen:

es gilt y = [mm] m_{t} [/mm] x +b
also hier. 0 = [mm] -9m_{t} [/mm]  + b [mm] \Rightarrow [/mm] b = [mm] 9\underbrace{m_{t}}_{=f'(-9)} [/mm] = 9 * f´(-9).

Marius

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Fläche unter Tangente: Tangente
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:13 So 20.08.2006
Autor: zeusiii

Aufgabe
wie oben  

es gilt y = $ [mm] m_{t} [/mm] $ x +b
also hier. 0 = $ [mm] -9m_{t} [/mm] $  + b $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ b = $ [mm] 9\underbrace{m_{t}}_{=f'(-9)} [/mm] $ = 9 * f´(-9).


ich versteh jetzt aber nicht wie du auf   b = $ [mm] 9\underbrace{m_{t}}_{=f'(-9)} [/mm] $ = 9 * f´(-9) kommst .

ich habe f´(-9) gerechnet und erhalte die 9 ,diese 9 ist ja jetzt die Steigung und um nach der Tangentengleichung y = mx+b zu gehen ,setze ich diese Punkte ein .

0 = 9 * (-9) + b

81 = b

lautet die Tangentengleichung dann :

t(x) = 9*x + 81



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Bezug
Fläche unter Tangente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 So 20.08.2006
Autor: M.Rex


> wie oben
> es gilt y = [mm]m_{t}[/mm] x +b
>  also hier. 0 = [mm]-9m_{t}[/mm]  + b [mm]\Rightarrow[/mm] b =
> [mm]9\underbrace{m_{t}}_{=f'(-9)}[/mm] = 9 * f´(-9).
>
>
> ich versteh jetzt aber nicht wie du auf   b =
> [mm]9\underbrace{m_{t}}_{=f'(-9)}[/mm] = 9 * f´(-9) kommst .

Ich war zu faul, das ganze auszurechnen. In deinem Fall war y = 0, also gilt:
0 = [mm] m_{t} [/mm] * 9 + b

Wenn du jetzt für [mm] m_{t} [/mm] deinen durch f´(9) gegebenen Wert einsetzt, und nach b umstellst erhältst du:

b = - f´(9) * 9.

Mit deinem Wert für f'(9) = 9 ergibt sich deine korrekte Rechnung.

>
> ich habe f´(-9) gerechnet und erhalte die 9 ,diese 9 ist ja
> jetzt die Steigung und um nach der Tangentengleichung y =
> mx+b zu gehen ,setze ich diese Punkte ein .

Korrekt [daumenhoch]

>  
> 0 = 9 * (-9) + b
>
> 81 = b
>
> lautet die Tangentengleichung dann :
>  
> t(x) = 9*x + 81
>
>  

Yep [daumenhoch]

Gruss

Marius

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Fläche unter Tangente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 So 20.08.2006
Autor: M.Rex

Hallo,

Für die Fläche zwischen der Tangente und dem Graphen musst du zuerst einmal die Schnittpunkte berechnen.

Die Tangente nenne ich jetzt mal t(x), den Graphen f(x).


Schau dir mal den Graphen und die Tangente im Beitrag von riwe an:

Dann siehst du, dass in dem Bereich zwischen den Schnittpunkten gilt:

t(x) > f(x).

Also musst du folgendes Integral berechnen:

[mm] \integral_{a}^{b}{(t(x) - f(x)) dx} [/mm] , wobei a und b die x-Koordinaten der  Schnittpunkte sind.

Ein kleiner Tipp noch: a ist die x-Koordinate des Berührpunktes (-9/0)

Da das ganze (t(x)-f(x)) eine Funktion 3. Grades ist, musst du die erste Nullstelle nämlich "erraten", damit du die Polynomdivision durchführen kannst.

Marius


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Fläche unter Tangente: Polynomdivision ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 So 20.08.2006
Autor: zeusiii

Aufgabe
wie oben ?  

Hallo ,

Marius warum denn Polynomdivision ? es wäre doch bei einer Funktion 3. Grades :  f(x) = [mm] \bruch{1}{9}x^{2} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] zwar möglich aber dennoch viel zu aufwendig .

einfach x-Ausklammern und schon kann man diese Prima mit PQ oder QE ausrechnen .

Aber ist sowieso nicht notwendig ,denn jetzt haben wir alle Informationen die wir brauchen .

Ist ein harter Weg gewesen ,aber jetzt nach den Sommerferien bin ich wieder voll bei der Sache .

So weitergerechnet habe ich folgendermaßen :

erst die Fläche der Tangente in dem Intervall [-9 ;0 ]

[mm] \integral_{-9}^{0}{t(9x+81) dx} [/mm]

                                          0  
= [9/2 * [mm] x^{2} [/mm] + 81 * x + c ]
                                         -9

die Werte eingesetzt

= (9/2 * 0 ^{2} +  ... + c ) -  ( 9/2 * [mm] (-9)^{2} [/mm] + 81 * (-9) + c )

=                        0           -  (    - [mm] \bruch{729}{2}) [/mm]

=                                     [mm] \bruch{729}{2} [/mm]    FE


dann davon die Fläche von f (x) im selben Intervall abziehen und ich

[mm] \integral_{-9}^{0}{t(9x+81) dx} [/mm] - [mm] (\integral_{-9}^{0}{f(\bruch{1}{9}*x^{3}+x^{2}) dx} [/mm]

komme dann



auf das Ergebnis


=  303,75 FE


Falls dies in der Aufgabe so gemeint war :-)



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Fläche unter Tangente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 So 20.08.2006
Autor: M.Rex

Hast recht, ich habe mir die Funktion nicht konkret angeschaut, dein Weg ist der bessere.

Das Ergebnis sieht gut aus (Da du den TR bedienen kannst, rechne ich das mal nicht nach)

Marius

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Fläche unter Tangente: Aufgabenstellung beachten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:01 Di 22.08.2006
Autor: Sigrid

Hallo zeusiii,

> wie oben ?
> Hallo ,
>  
> Marius warum denn Polynomdivision ? es wäre doch bei einer
> Funktion 3. Grades :  f(x) = [mm]\bruch{1}{9}x^{2}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] zwar
> möglich aber dennoch viel zu aufwendig .
>
> einfach x-Ausklammern und schon kann man diese Prima mit PQ
> oder QE ausrechnen .
>
> Aber ist sowieso nicht notwendig ,denn jetzt haben wir alle
> Informationen die wir brauchen .
>  
> Ist ein harter Weg gewesen ,aber jetzt nach den
> Sommerferien bin ich wieder voll bei der Sache .
>  
> So weitergerechnet habe ich folgendermaßen :
>  
> erst die Fläche der Tangente in dem Intervall [-9 ;0 ]
>
> [mm]\integral_{-9}^{0}{t(9x+81) dx}[/mm]
>  
> 0  
> = [9/2 * [mm]x^{2}[/mm] + 81 * x + c ]
>                                           -9
>  
> die Werte eingesetzt
>  
> = (9/2 * 0 ^{2} +  ... + c ) -  ( 9/2 * [mm](-9)^{2}[/mm] + 81 *
> (-9) + c )
>
> =                        0           -  (    -
> [mm]\bruch{729}{2})[/mm]
>  
> =                                     [mm]\bruch{729}{2}[/mm]    FE
>
>
> dann davon die Fläche von f (x) im selben Intervall
> abziehen und ich
>
> [mm]\integral_{-9}^{0}{t(9x+81) dx}[/mm] -
> [mm](\integral_{-9}^{0}{f(\bruch{1}{9}*x^{3}+x^{2}) dx}[/mm]
>  
> komme dann
>
>
>
> auf das Ergebnis
>
>
> =  303,75 FE
>
>
> Falls dies in der Aufgabe so gemeint war :-)

Ich denke, so ist die Aufgabe nicht gemaint.

Aufgabe
Eine Parabel 3. Ordnung geht durch Origo also (0/0) und A (-9/0) und hat in W (-3/6) ihren Wendepunkt .
Wie groß ist die Fläche die sie mit der Tangente in A einschließt ?  

Gesucht ist also die Fläche zwischen der Kurve $ k: f(x) = [mm] \bruch{1}{9}x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] $ und $ t: t(x) = 9x + 81 $

Dazu musst du die Schnittstellen berechnen. Also doch Polynomdivision.

Nach meiner Rechnung ist die 2. Schnittstelle, und damit die obere Grenze des Integrals [mm] x_s=9. [/mm]
Also

[mm]\integral_{-9}^{9}{(9x+81) dx} - \integral_{-9}^{9}{(\bruch{1}{9}*x^{3}+x^{2}) dx}[/mm]

Gruß
Sigrid
  

Bezug
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