Fläche des Rechtecks < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Do 30.11.2006 | | Autor: | nali |
| Aufgabe | Gegebene Funktion : [mm] f(x)=-x^2+6
[/mm]
Berechnen Sie die maximale Fläche und den maximalen Umfang des Vierecks, welches sich zw. der Funktion und der Abszissenachse befindet.. |
Tut mir leid ich komm überhaupt nicht weiter. Bitte um Hilfe.
Vielen Danke im Vorraus.
|
|
| |
|
> Gegebene Funktion : [mm]f(x)=-x^2+6[/mm]
> Berechnen Sie die maximale Fläche und den maximalen
> Umfang des Vierecks, welches sich zw. der Funktion und der
> Abszissenachse befindet..
> Tut mir leid ich komm überhaupt nicht weiter. Bitte um
> Hilfe.
> Vielen Danke im Vorraus.
N'Abend!
Also wie schaut das Problem aus. Ich hoffe, du hast die Funktion einmal gezeichnet oder geplotet, damit du ungefähr weisst wie dieses rechteck aussehen soll. Du musst ein Rechteck zwischen Graph und x-AChse einschreiben mit dem maximalen Flächeninhalt.
Es ist also eine Optimierungsaufgabe.
Das Problem hier: die Funktion, die den Flächeninhalt angibt, ist nicht gegeben, aber du kannst sie leicht rausfinden.
Flächeninhalt= Seite mal Höhe:
Die Seite wäre 2x (wir nehmen hier den Betrag, weil die Länge nicht negativ sein kann) und die Höhe wäre f(x):
Deine Flächeninhaltsfunktion lautet: A(x)= [mm] f(x)*2x=(-x^2+6)*2x
[/mm]
Jetzt musst du noch A(x) ableiten und gleich = 0 setzen. Du kriegst dann zwei Lösungen und musst dich für die richtige entscheiden (ist aber hier ein Sonderfall, wirst schon sehen!)
Der Umfang geht analog: Die Funktion für den Umfang lautet aber U=2a+2b bzw. hier 4x+2f(x) (da die eine Seite ja 2x ist).
Also das sollte genügen!
Ciao
GorkyPArk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Do 30.11.2006 | | Autor: | nali |
Wieso aber 2x ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Do 30.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wieso aber 2x ?
Weil das Rechteck die x-Achse als Seite a hat, und zwar geht die Grundseite von -x bis x, macht zusammen die "Länge"
|-x|+|x|=-(-x)+x=2x
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Do 30.11.2006 | | Autor: | nali |
Ich habe 18 raus. :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Do 30.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Für was? Für die Fläche?
Aber zur Rechnung:
[mm] A(x)=f(x)\cdot{}2x=(-x^2+6)\cdot{}2x=-2x³+12x
[/mm]
Davon musst du das Maximum suchen.
Also die Nullstelle der ersten Ableitung
A'(x)=-6x²+12
Das heisst, die Nullstellen sind [mm] \pm\wurzel{2}
[/mm]
Diese in A(x)eingesetzt ergeben eine Fläche von:
[mm] A(\wurzel{2})=-4\wurzel{2}+12\wurzel{2}=8\wurzel{2}\approx11,32
[/mm]
Jetzt klarer?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Do 30.11.2006 | | Autor: | nali |
Sorry für die knappe Schreibweise. Es ist ein Tablet PC, da ist es mühsam mit der Texterkennung zu schreiben.
Ich habe den Umfang gerechnet. Aber Dache für dm Lösungsweg, ich nutze ihn um meine Fehler zu korrigieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Do 30.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo nali!
Auch für das Ergebnis des Umfanges ist der Wert 14 ziemlich grob gerundet.
Ich erhalte: $u \ = \ [mm] 4*\wurzel{2}+8 [/mm] \ = \ [mm] 4*\left( \ \wurzel{2}+2\right) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 13.66 \ [L.E.]$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Do 30.11.2006 | | Autor: | nali |
Ich will euch ja nicht foltern aber könntet ihr mal den kompletten Rechenweg zum Umfang incl. Zwischenschritte niederschreiben? Ich komme auf ein sauberes 14,00E ???
Danke für die Hilfe, das Prinzip habe ich (mit Krücken) kapiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo nali!
Den gesuchten Wert für das extremale Rechteack hatten wir ja mit [mm] $x_E [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{2}$ [/mm] bereits ermittelt.
Damit beträgt die Grundseite des Rechteckes $a \ = \ [mm] 2*\wurzel{2}$ [/mm] .
Die Höhe des Rechteckes erhalten wir aus der Funktion: $b \ = \ [mm] f(\wurzel{2}) [/mm] \ = \ [mm] 6-\left( \ \wurzel{2} \ \right)^2 [/mm] \ = \ 6-2 \ = \ 4$
Damit erhalten wir für den Umfang gemäß $u \ = \ 2*(a+b)$ :
$u \ = \ [mm] 2*\left(2*\wurzel{2}+4\right) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 13.66$
Wie lautet denn Dein Rechenweg?
Gruß
Loddar
|
|
|
|
