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Folgende Aufgabe bereitet mir schon seit Tagen Probleme:
A sei das Flächenstück, das von den Funktionen f(x)=cos(x) und [mm] g(x)=x^{2}+ \alpha [/mm] eingeschlossen wird ( [mm] \alpha()R; [/mm] Skizze)
Wie muß [mm] \alpha [/mm] gewählt werden, damit die Fläche von A die Größe 1 hat ?
Ok, soweit ich das beurteilen kann, ist das die Cosinus Funktion und ne Parabel, die um [mm] \alpha [/mm] nach oben verschoben ist. (Skizze ist kein Problem)
Aber wie berechne ich jetzt das [mm] \alpha [/mm] ?
Normal würde ich ja das [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {cos(x) - [mm] x^{2}+\alpha [/mm] dx} berechnen, wobei a und b die Schnittpunkte der beiden Funktionen wären. Diese kenne ich aber ohne [mm] \alpha [/mm] ja nicht.
Wie geht´s?
MFG Patrick
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Hallo!
> A sei das Flächenstück, das von den Funktionen f(x)=cos(x)
> und [mm]g(x)=x^{2}+ \alpha[/mm] eingeschlossen wird ( [mm]\alpha()R;[/mm]
> Skizze)
>
> Wie muß [mm]\alpha[/mm] gewählt werden, damit die Fläche von A die
> Größe 1 hat ?
>
> Ok, soweit ich das beurteilen kann, ist das die Cosinus
> Funktion und ne Parabel, die um [mm]\alpha[/mm] nach oben verschoben
> ist. (Skizze ist kein Problem)
>
> Aber wie berechne ich jetzt das [mm]\alpha[/mm] ?
>
> Normal würde ich ja das [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] {cos(x) - [mm] x^{2}+\alpha[/mm] [/mm] dx} berechnen, wobei a und b die
> Schnittpunkte
> der beiden Funktionen wären. Diese kenne ich aber ohne
> [mm]\alpha[/mm] ja nicht.
Also einmal musst du noch eine Klammer setzen:
[mm] \integral_{a}^{b}{cos(x)-(x^{2}+\alpha) dx} [/mm]
und dann kannst du doch eine Grenze in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] berechnen - theoretisch jedenfalls. Das wäre dann ja:
[mm] \cos{x}=x^2+\alpha, [/mm] das müsstest du nun nach x auflösen (ich weiß da gerade nicht, wie man das macht :-(), also in Abhängigkeit von [mm] \alpha.
[/mm]
Und da das Ganze symmetrisch zur y-Achse ist, reicht es auch, wenn du als untere Integralgrenze 0 nimmst, und dann einen Flächeninhalt von 0,5 erhalten möchtest, falls du verstehst, was ich meine.
Vielleicht hilft dir das ja weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Di 12.07.2005 | | Autor: | Patrick_T |
Hilft nicht wirklich.
Ich weiß nur soviel das man irgendwie mit newton die Schnittpunkte bestimmen muß, aber keiner weiß wie´s geht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Di 12.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Patrick!
Es müsste doch eigentlich wie folgt gehen:
Es sei [mm] $x_{\alpha}$ [/mm] die positive Stelle mit
[mm] $\cos(x_{\alpha}) [/mm] = [mm] x_{\alpha}^2 [/mm] + [mm] \alpha$.
[/mm]
Dann ist ja [mm] $\alpha$ [/mm] so zu bestimmen, dass
[mm] $\frac{1}{2} [/mm] = [mm] \int\limits_0^{x_{\alpha}} (\cos(x) [/mm] - [mm] (x^2 [/mm] + [mm] \alpha))\, [/mm] dx = [mm] \sin(x_{\alpha}) [/mm] - [mm] \frac{1}{3}x_{\alpha}^3 [/mm] - [mm] \alpha x_{\alpha} [/mm] = [mm] \sin(x_{\alpha}) [/mm] - [mm] \frac{1}{3}x_{\alpha}^3 [/mm] - [mm] (\cos(x_{\alpha}) [/mm] - [mm] x_{\alpha}^2) x_{\alpha} [/mm] = [mm] \sin(x_{\alpha}) [/mm] - [mm] \cos(x_{\alpha}) x_{\alpha}+ \frac{2}{3} x_{\alpha}^3$.
[/mm]
Naja, und diese Gleichung kann man ja mit dem Newton-Verfahren approximativ nach [mm] $x_{\alpha}$ [/mm] auflösen. Und wenn man [mm] $x_{\alpha}$ [/mm] kennt, dann kann man über
[mm] $\alpha [/mm] = [mm] \cos(x_{\alpha}) [/mm] - [mm] x_{\alpha}^2$
[/mm]
auch [mm] $\alpha$ [/mm] bestimmen.
Viele Grüße
Stefan
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