Fläche berechnen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Sa 07.05.2005 | | Autor: | joke |
Hallo an Alle,
Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe:
Berechne die Fläche, die die Kurve $ y = xln(x+1)$ und die Gerade $y = x$ einschließen!
Nun gut, ich habe die grenzen berechnet, da die Kurve erst bei 0 anfängt (da bei ln x ja nicht kleiner oder gleich 0 sein darf, hier aber ja immer 1 dazu gezählt wird), ist dies die erste Grenze, die 2. Grenze ist der Schnittpunkt den ich durch gleichstellen der beiden Funktionen bekommen habe
$ x = xln(x+1)$
$1 = ln(x+1)$
[mm] $e^1 [/mm] = x+1$
$x = [mm] e^1 [/mm] - 1$
die Grenzen sind also 0 und [mm] $e^1 [/mm] - 1$
Dann habe ich die Funktion $y = x$ in diesem Bereich integriert und die Fläche 1,47 erhalten
danach habe ich die Funkion $y = xln(x+1)$ integriert und ich denke hier liegt das Problem, ist etwas schwierig zu integrieren
ich habe es versucht und partiell integriert
$f = [mm] \bruch{x²}{2}$ [/mm] $f'=x$
$g = ln(x+1)$ $g' = [mm] 1\bruch{1}{x+1}$
[/mm]
das führt dann zu
[mm] $\bruch{x²}{2} [/mm] ln(x+1) - [mm] \integral_{0}^{e^1-1} {(\bruch{x²}{2}*\bruch{1}{x+1}) dx}$
[/mm]
dann habe ich wieder partiell integriert
$f = [mm] \bruch{x²}{2}$ [/mm] $f' = x$
$g = 1$ $g' = [mm] \bruch{1}{x+1}$
[/mm]
und bekam
[mm] $\bruch{x²}{2} [/mm] ln(x+1) - [mm] \bruch{x²}{2} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{e^1-1} [/mm] {(x) dx}$
das integriert ergibt
[mm] $\bruch{x²}{2} [/mm] ln(x+1) - [mm] \bruch{x²}{2} [/mm] - [mm] \bruch{x²}{2}$
[/mm]
allerdings kommt dann nicht die richtige Lösung raus
hoffe es kann mir jemand helfen, ich denke ich habe beim integrieren einen Fehler gemacht
mfg Joke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Sa 07.05.2005 | | Autor: | joke |
erstmal Danke für die Antwort
aber leider kapiere ich nicht ganz was du meinst, haben wirgar nicht gelernt mit arctanx, weiß auch nicht was das ist
ich habe mir gedacht dass $ [mm] \integral_{0}^{e^1-1} {(\bruch{x²}{2}\cdot{}\bruch{1}{x+1}) dx} [/mm] $ etwas umgeformt so aussieht: $ [mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{e^1-1} {(x²(x+1)^{-1}) dx} [/mm] $ und das ist ja dann schon ein Grundintegral oder ?
auf jeden Fall habe ich dieses Beispiel schon einmal herausgebracht mit der richtigen Lösung, aber leider finde ich den Zettel nicht mehr wo das oben stand
die Lösung ist (laut Angabenzettel) 0,379E²
vielleicht sonst noch eine Idee ? wie gesagt die von dir vorgeschlagene Möglichkeit steht nicht in meinen Möglichkeiten ;)
Liebe Grüße JOke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fabian,
im Nenner kann durch die  Polynomdivision aus einem [mm] $1+x^{\red{1}}$ [/mm] nicht plötzlich ein [mm] $1+x^{\red{2}}$ [/mm] werden.
Damit benötigt man den [mm] $\arctan$ [/mm] als Stammfunktion natürlich nicht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Loddar
Du hast natürlich Recht. Da hab ich ja totalen Mißt gebaut! ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") Wie ich gerade gelesen habe , haben wir jetzt den selben Rechenweg!
Gruß Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Sa 07.05.2005 | | Autor: | joke |
Hallo Loddar und persilous,
wie kann ich dann mein Integral richtig lösen ? oder stimmt es was ich herausbekommen habe ? wäre über eine Antwort froh, wenn du vielleicht mal die Zeit hast nachzurechnen
Habe jetzt bei einer anderen Aufgabe wieder das gleiche Problem :( es kommt mir mal wieder nicht die richtige Fläche heraus, wüsste aber jetzt nicht wo der Fehler liegt
also hier die 2. Aufgabe:
$A = [mm] \integral_{-1}^{1} {(x²-1)e^x dx}$
[/mm]
mein Ergebnis ist
[mm] $(x²-1)e^x-2xe^x-2e^x [/mm] $
die Fläche sollte ~1,47E² betragen ich bekomme aber 10,87E² heraus, ein großer Unterschied
hoffe dass ihr mir bei diesen 2 Aufgaben helfen könnt, komme da nicht mehr selber auf die richtige Lösung, bzw. finde nach mehrmaligem durchrechnen keinen Fehler ...
Liebe Grüße und einen schönen Samstag Abend, Joke
ähm @ persilous , habe jetzt erst deinen 2. Post gesehen ;) stimmt es also ? bzw. was bekommst du für eine Fläche heraus, denn bei mir kommt etwas markant falsches heraus (laut Lösung die auf dem Angabenzettel steht)
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Hi, Joke,
>
> [mm]A = \integral_{-1}^{1} {(x²-1)e^x dx}[/mm]
>
> mein Ergebnis ist
>
> [mm](x²-1)e^x-2xe^x-2e^x[/mm]
Vorzeichenfehler!
Richtig wäre: [mm] (x²-1)e^x-2xe^x [/mm] + [mm] 2e^x [/mm] bzw. [mm] e^{x}*(x^{2}-2x+1)
[/mm]
> die Fläche sollte ~1,47E² betragen ich bekomme aber
> 10,87E² heraus, ein großer Unterschied
Dann kommt tatsächlich 1,47 raus!
Genauer: Das bestimmte Integral ergibt ca. -1,47;
der Flächeninhalt ist +1,47.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 So 08.05.2005 | | Autor: | joke |
Hallo Zwergilein,
Danke für die Antwort, mit den Vorzeichen hab ich es nicht so ;) sollte da nächstes mal besser eine Klammer machen, das vergisst man immer schnell, werde das dann nacher richtig stellen
Danke auch an Loddar, aber jetzt weiß ich immer noch nicht wirklich was ich falsch gemacht habe, vielleicht kannst du mir mal die Schritte der Reihe nach auflisten ? wäre wirklich sehr hilfreich, das 0,379 bekomme ich leider nicht ...
Liebe Grüße Joke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:04 So 08.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Joke!
Das Ergebnis von $A \ [mm] \approx [/mm] \ 0,379 \ [FE]$ ist ja bereits das Endergebnis für die Fläche zwischen den Funktionskurven.
Die Formel für Flächen zwischen zwei Funktionskurven $f(x)$ und $g(x)$ lautet ja:
$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{x_{S1}}^{x_{S2}} {g(x) - f(x) \ dx} \ \right|$
[/mm]
Auf unsere Aufgabe übertragen heißt das:
$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{0}^{e-1} {x - x*\ln(x+1) \ dx} \ \right|$
[/mm]
$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{0}^{e-1} {x \ dx} \ - \ \integral_{0}^{e-1} {x*\ln(x+1) \ dx} \ \right|$
[/mm]
Für [mm] $\integral_{0}^{e-1} {x*\ln(x+1) \ dx}$ [/mm] hatten wir ja erhalten:
[mm] $\integral_{0}^{e-1} {x*\ln(x+1) \ dx}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{x^2}{2}*\ln(x+1) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{e-1} {\bruch{x^2}{2}*\bruch{1}{x+1} \ dx}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{x^2}{2}*\ln(x+1) [/mm] - [mm] \blue{\bruch{1}{2}} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{e-1} [/mm] {x - 1 + [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] \ dx}$
$= [mm] \bruch{x^2}{2}*\ln(x+1) [/mm] - [mm] \blue{\bruch{1}{2}} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{e-1} [/mm] {x \ dx} + [mm] \blue{\bruch{1}{2}} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{e-1} [/mm] {1 \ dx} - [mm] \blue{\bruch{1}{2}} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{e-1} {\bruch{1}{x+1} \ dx}$
[/mm]
Edit: Faktor [mm] $\blue{\bruch{1}{2}}$ [/mm] ergänzt. Loddar
Wie lautet denn hiervon die Stammfunktion?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 So 08.05.2005 | | Autor: | joke |
Hallo Loddar,
Das Ergebnis haben wir nur vom Lehrer bekommen (also es steht auf dem Zettel wo auch die Aufgabe oben ist), allerdings bekomme ich dieses Ergebnis nicht, deshalb meine Frage ;) , ich dachte mir mal ich schreibe es mit an, da ja auch das Ergebnis des Lehrers nicht immer richtig sein muss
nun zur Integration,
den Schritt kapiere ich immer noch nicht,
$ = [mm] \bruch{x^2}{2}\cdot{}\ln(x+1) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{e-1} {\bruch{x^2}{2}\cdot{}\bruch{1}{x+1} \ dx} [/mm] $
zu
$ = [mm] \bruch{x^2}{2}\cdot{}\ln(x+1) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{e-1} [/mm] {x - 1 + [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] \ dx} $
zu
$ = [mm] \bruch{x^2}{2}\cdot{}\ln(x+1) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{e-1} [/mm] {x \ dx} + [mm] \integral_{0}^{e-1} [/mm] {1 \ dx} - [mm] \integral_{0}^{e-1} {\bruch{1}{x+1} \ dx} [/mm] $
tut mir leid wenn ich etwas nervig bin aber da komme ich nicht mehr mit
hoffe du kannst mir helfen, falls es etwas mit der Polynomdivision zu tun hat - in Verbindung mit INtegral haben wir das in der Schule noch nie verwendet, deshalb denke ich es muss auch noch irgendwie anders gehen
Liebe Grüße Joke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 So 08.05.2005 | | Autor: | joke |
Danke Loddar,
jetzt sollte ich es hinbekommen ;) sonst melde ich mich nochmal
Liebe Grüße JOke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 So 08.05.2005 | | Autor: | joke |
Hallo Loddar,
noch eine kleine Frage,
was ist [mm] $\integral{\bruch{1}{x+1}}$
[/mm]
ich dachte jetzt es sei $ln(x+1)$ aber bin mir nicht ganz sicher, wenn man der Methode [mm] $(x+1)^{-1}$ [/mm] folgen würde dann wäre es doch [mm] $\bruch{(x+1)^0}{0}$ [/mm] und eine Division durch 0 ist ja nicht möglich oder ? also wird's wohl Möglichkeit 1 sein oder ?
mfg Joke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 So 08.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Joke!
> was ist [mm]\integral{\bruch{1}{x+1}}[/mm]
>
> ich dachte jetzt es sei [mm]ln(x+1)[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt!
Den Rest bitte vergessen ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 So 08.05.2005 | | Autor: | joke |
Danke Loddar,
werde dann den Rest ganz schnell verdrängen ;) und auch nicht mehr weiter drüber nachdenken
vielen lieben Dank für deinen Einsatz hier :)
Grüße Joke
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein, das ist kein Grundintegral, weil die 