Fläche Rechteck in Ellipse < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Do 25.03.2010 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Der Ellipse [mm] 9x^2+16y^2=144 [/mm] soll ein möglichst großes Rechteck einbeschrieben werden, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind. Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechtecks. |
Hallo,
der Ellipse soll ein möglichst großes Rechteck einbeschrieben werden, also das Maximum der Reckteckfläche gesucht:
A(l,b) = l [mm] \cdot{} [/mm] b
Jedoch muss das Ganze noch einen Bezug zur Ellipse erhalten, die Seitenlängen der Ellipse sind ja [mm] \pm \wurzel{9} [/mm] (vertikal) und [mm] \pm \wurzel{16} [/mm] (waagerecht).
Mir geht es mehr um das Verständnis als um die Berechnung.
Ich muss ja Extrema suchen, müsste ich dazu nicht die Ellipsengleichung nach y auflösen, das Ergebnis ableiten und Null setzen, um auf eine Seitenlänge muss das Ergebnis noch mal 2 genommen werden.
Wenn dies stimmen sollte, wie kommt man auf diese Idee?
Ich habe als Seitenlänge waagerecht [mm] 2\wurzel{2} [/mm] und senkrecht [mm] \bruch{3}{\wurzel{2}}. [/mm] Als würde sich für die Fläche ergeben: A = 2* [mm] 2\wurzel{2}*2*\bruch{3}{\wurzel{2}} [/mm] = 24.
Besten Dank
itse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:37 Fr 26.03.2010 | | Autor: | ONeill |
Hi!
> Jedoch muss das Ganze noch einen Bezug zur Ellipse
> erhalten
Zugegebenermassen hab ich von solchen Kriesfunktionen keine Ahnung, aber wie waere es, wenn Du Dir daraus eine halbe Ellipse machst. Dann haettest du eine stinknormale [mm] f_{(x)} [/mm] Funktion und koenntes dort dann das groesste Rechteck bestimmen und dann am Ende einfach den Wert verdoppeln?
Falls das moelgich ist, dann waere die Aufgabe so doch einfacher zu loesen.
Gruss Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Fr 26.03.2010 | | Autor: | chrisno |
> also das Maximum der Reckteckfläche
> gesucht:
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> A(l,b) = l [mm]\cdot{}[/mm] b
Ich schlage vor, anstelle von l zum Beispiel a zu wählen. l(L) und 1(eins) erscheinen hier gleich.
>
> Jedoch muss das Ganze noch einen Bezug zur Ellipse
> erhalten,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>die Seitenlängen der Ellipse sind ja [mm]\pm \wurzel{9}[/mm]
> (vertikal) und [mm]\pm \wurzel{16}[/mm] (waagerecht).
Das gibt Dir den Definitonsbereich für die Untersuchung an. Länger dürfen die Seiten des Rechtecks nicht werden. Weiterhin ist bei diesen Werten immer die andere Seitenlänge des Rechtecks Null, also die Fläche auch Null.
>
> Ich muss ja Extrema suchen, müsste ich dazu nicht die
> Ellipsengleichung nach y auflösen, das Ergebnis ableiten
> und Null setzen,
Nein. Du willst eine Rechteckfläche maximal werden lassen. Also musst Du den Ausdruck für A ableiten usw..
Die Ellipse gibt Dir den Zusammenhang zwischen den beiden Seiten des Rechtecks vor. Aus $A(a,b) = a [mm] \cdot [/mm] b$ machst Du A(a), indem Du mit der Ellipsengleichung b durch a ersetzt.
> um auf eine Seitenlänge muss das Ergebnis
> noch mal 2 genommen werden.
>
Symmetrien ausnutzen ist immer gut. Du brauchst das Ganze nur für ein Viertel der Ellipse durchzuführen.
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