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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 So 05.02.2012 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | In [mm] \IR^{3} [/mm] wird die Fläche
[mm] S:={(x,y,z)^{T}|2y^{2}+(z-x)^{2}=1,0 \le z \le 2}
[/mm]
betrachtet. Des weiteren sei durch
v: [mm] \IR^{3}->\IR^{3}, \vektor{x\\y\\z}= \vektor{2x+y\\ \sqrt{2}x+4y+\sqrt{2}z\\x^{2}-y}
[/mm]
ein Vektorfeld im [mm] \IR^{3} [/mm] gegeben.
Geben Sie eine Parametrisierung für die Fläche S an. |
In der Teilaufgabe davor sollte man die Fläche S in der x-z-Ebene skizzieren.
=> z = x -1 , z = x +1 , für 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2.
sind zwei schräg, parallel verlaufende Geraden, eine davon ist ein Stück nach rechts verschoben.
Nun erwartet man eine Parametrisierung in Zylinderkoordinaten.
diese sieht allgemein so aus: (z, [mm] \phi) [/mm] -> [mm] \vektor{z cos \phi\\ z sin \phi\\ z}.
[/mm]
Leider weiß ich jetzt nicht, wie ich das "z" parametrisieren soll.
Raus kommen soll:
(z, [mm] \phi) [/mm] -> [mm] \vektor{z + cos \phi\\ \frac{1}{\sqrt{2}} sin \phi\\ z} [/mm]
Wie kommt man drauf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 Mo 06.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst ja [mm] 2y^2+(x-z)^2=1 [/mm] das ist für feste z eine ellipse mit mittelpunkt z und grosse Halbachse 1, kleine [mm] 1/\wurzel{2}
[/mm]
eine ellipse mit den Achsen a,b wird mit x/a=cost, y/b=dint parametrisiert. denn dann ist [mm] x^2/a^2+y^2/b^2=cos^2t+sin^2t=1
[/mm]
wenn der mittelpunkt nun noch in abh. von z verschoben ist gilt (x-z)/a=cost, y/b=sint, z=z
Parametrisierung von Kreis und Ellipse sollte man kennen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Mo 06.02.2012 | | Autor: | zoj |
> Hallo
> du willst ja [mm]2y^2+(x-z)^2=1[/mm] das ist für feste z eine
> ellipse mit mittelpunkt z und grosse Halbachse 1, kleine
> [mm]1/\wurzel{2}[/mm]
OK, habe mir ein festen Wert z=0 genommen.
Die Gleichung lautet dann:
[mm] x^{2}+2y^{2}=1
[/mm]
Allgemein lutet die Ellipsengleichung:
[mm] \frac{x^{2}}{a^{2}} [/mm] + [mm] \frac{y^{2}}{b^{2}} [/mm] = 1
Forme meine Gleichung um:
[mm] \frac{x^{2}}{1} [/mm] + [mm] \frac{y^{2}}{\frac{1}{2}} [/mm] = 1
=> a = [mm] \pm1 [/mm] und b = [mm] \pm\frac{1}{\sqrt{2}}
[/mm]
Gut die Haupt und Nebenache habe ich bestimmt.
Nun zu der Parametrisierung:
Habe bei Wikipedia drei Fallunterscheidungen gesehen, je nachdem wie die Hauptachse liegt.
In der x/z-Ebene habe ich zwei schäge linien. Das ist dann maeine Ellipse die ich dann von der Seite anschaue ja?
Das heißt die Hauptachse ist schräg.
Stimmt das?
> eine ellipse mit den Achsen a,b wird mit x/a=cost,
> y/b=dint parametrisiert. denn dann ist
> [mm]x^2/a^2+y^2/b^2=cos^2t+sin^2t=1[/mm]
> wenn der mittelpunkt nun noch in abh. von z verschoben ist
> gilt (x-z)/a=cost, y/b=sint, z=z
> Gruss leduart
Genau das ist bei mir der Fall:
aber ich weiß immer noch nicht ganz wie ich das parametrisieren soll.
Spontan würde ich sagen:
[mm] (z,\phi) [/mm] -> [mm] \vektor{acos \phi\\ b sin \phi\\ z}
[/mm]
Die z-Komponente stimmt schon mal.
Wenn der Elliptische-Zylinder nicht schief wäre könnte ich dann sagen:
[mm] (z,\phi) [/mm] -> [mm] \vektor{1 cos \phi\\ \frac{1}{\sqrt{2}} sin \phi\\ z}
[/mm]
Stimmt das?
Aber bei mir ist er schief, wie verarbeite ich es in der Parametrisierung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mo 06.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte doch schon geschrieben, was passiert, wenn der mittelpunkt der Ellipse verschoben ist, egal ob fest oder von z abhängig.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Mo 06.02.2012 | | Autor: | zoj |
Jetzt hab ich es nachvollzogen:
> eine ellipse mit den Achsen a,b wird mit x/a=cost,
> y/b=dint parametrisiert. denn dann ist
> $ [mm] x^2/a^2+y^2/b^2=cos^2t+sin^2t=1 [/mm] $
> wenn der mittelpunkt nun noch in abh. von z verschoben ist
> gilt (x-z)/a=cost, y/b=sint, z=z
> Gruss leduart
Daraus folgt:
[mm] \vektor{a cost +z\\ b sint\\ z}
[/mm]
Mich würde interessieren woher du das hast.
Steht das in der Formelsammlung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Mo 06.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, ich weiss einfach sin^2t+cos^2t=1 daraus folgt alles andere. ich benutze selten formelsammlugen in mathe.Bis man ne "Formel" gefunden hat, hat man sie meist hergeleitet.
Dass allerdings der Einheitskrie mit x=cost, y=sint parametrisiert ist ist die übliche Definition von sin und cos Funktion am kreis.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mo 06.02.2012 | | Autor: | zoj |
Jetzt muss ich eine Parametrisierung der Randkurve(n) der Fläche S angeben und darauf achten, dass die Orientierung in Bezug auf S mathematisch positiv orientiert ist.
In diesen Fall ist die Randkurve der Deckel des Eliptischen-Zylinders nicht wahr?
Also würde ich sagen: [mm] (\phi) [/mm] -> [mm] \vektor{a cos \phi \\ b sin \phi \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{ cos \phi\\ \frac{1}{\sqrt{2}}sin\phi \\ 0}
[/mm]
Die Randkurve hängt nicht von z ab.
Woher weiß ich jetzt ob die Orientierung in Bezug auf S positiv oder negativ orientiert ist?
Ich weiß, dass die positive Orientierung in gegen Urzeigersinn ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Mo 06.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein schräger Zylinder hat doch 2 Randkurven. biei z=0 und z=2. die bei z=0 hast du richtig.
Die fläch muss immer links von dir liegen, wenn du pos um sie läufst, also läuft unten dein ˜phi von 0 bis [mm] 1\pi, [/mm] oben musst du andersrum laufen.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Mo 06.02.2012 | | Autor: | zoj |
Danke für die Hilfe!
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