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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Gegeben ist die Fläche
z = [mm] 89x^2 [/mm] -96xy + [mm] 61y^2 [/mm] -260x + 70y + C
Bestimmen Sie die noch unbekannte Konstante C so,d ass die Fläche die x,y-Ebene berührt. Wie lautet derberührungspunkt?
Also meine Überlegung wäre folgende: Die x-y Ebene ist im Punkt P die Tangentialeben der Fläche z = [mm] 89x^2 [/mm] -96xy + [mm] 61y^2 [/mm] -260x + 70y + C
Die Tangentialebene lässt sich ja wie folgt errechnen:
[mm] f_x(P_0) [/mm] * (x [mm] -x_0) [/mm] + [mm] f_y*(P_0)*(y-y_0) [/mm] + [mm] f_z*(z -z_0) [/mm] = 0
[mm] f_x [/mm] = 178x -96y -260
[mm] f_y [/mm] = -96x + 122y + 70
[mm] f_z [/mm] = -1
[mm] z_0 [/mm] = 0
irgendwie wills nicht. Vor allem bin ich auch irritiert, weil ja die xy Ebene in Koordinatenform wie folgt dargestellt wird: z=0
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Hallo Kuriger,
> Hallo
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> Gegeben ist die Fläche
> z = [mm]89x^2[/mm] -96xy + [mm]61y^2[/mm] -260x + 70y + C
> Bestimmen Sie die noch unbekannte Konstante C so,d ass die
> Fläche die x,y-Ebene berührt. Wie lautet
> derberührungspunkt?
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> Also meine Überlegung wäre folgende: Die x-y Ebene ist im
> Punkt P die Tangentialeben der Fläche z = [mm]89x^2[/mm] -96xy +
> [mm]61y^2[/mm] -260x + 70y + C
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> Die Tangentialebene lässt sich ja wie folgt errechnen:
> [mm]f_x(P_0)[/mm] * (x [mm]-x_0)[/mm] + [mm]f_y*(P_0)*(y-y_0)[/mm] + [mm]f_z*(z -z_0)[/mm] = 0
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> [mm]f_x[/mm] = 178x -96y -260
> [mm]f_y[/mm] = -96x + 122y + 70
> [mm]f_z[/mm] = -1
Die x-y-Ebene hat den Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n}=\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Demnach muß gelten:
[mm]\pmat{f_{x} \\ f_{y} \\ f_{z}}=t*\overrightarrow{n}[/mm]
Daraus erhältst Du x,y.
Der Punkt (x,y,z) muß in der x-y Ebene liegen. Daher ist z=0.
Damit ist die Gleichung
[mm]0=89x^2 -96xy + 61y^2 -260x + 70y + C[/mm]
nach C aufzulösen.
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> [mm]z_0[/mm] = 0
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> irgendwie wills nicht. Vor allem bin ich auch irritiert,
> weil ja die xy Ebene in Koordinatenform wie folgt
> dargestellt wird: z=0
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Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo MathePower
Danke für die Hinweise
[mm] \vektor{178x -96y -260 \\ -96x + 122y + 70 \\ -1} [/mm] = t* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
t = -1, wobei das nicht wirklich eine Rolle spielt.
178x -96y -260 = 0
-96x + 122y + 70 = 0
x = 2
y = 1
Also ist der Berührungspunkt
P(2,1,0)
Danke, Gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo MathePower
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> Danke für die Hinweise
> [mm]\vektor{178x -96y -260 \\ -96x + 122y + 70 \\ -1}[/mm] = t*
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
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> t = -1, wobei das nicht wirklich eine Rolle spielt.
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> 178x -96y -260 = 0
> -96x + 122y + 70 = 0
>
> x = 2
> y = 1
> Also ist der Berührungspunkt
> P(2,1,0)
Ja, und jetzt musst Du noch das C ermitteln.
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> Danke, Gruss Kuriger
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Mathepower...
Ach ja ist ja noch nicht die Lösung..
Ich setze mal P(2,1,0) in die Fläche ein
z = [mm] 89x^2 [/mm] -96xy + [mm] 61y^2 [/mm] -260x + 70y + C
0 = 356 - 192 + 61 -520 + 70 + C
C = 225
Stimmt das so?
Danke, Gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo Mathepower...
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> Ach ja ist ja noch nicht die Lösung..
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> Ich setze mal P(2,1,0) in die Fläche ein
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> z = [mm]89x^2[/mm] -96xy + [mm]61y^2[/mm] -260x + 70y + C
>
> 0 = 356 - 192 + 61 -520 + 70 + C
> C = 225
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> Stimmt das so?
Ja, das stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Danke, Gruss Kuriger
>
Gruss
MathePower
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