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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Do 16.06.2011 | | Autor: | tobster |
Hallo,
ich habe mal eine Wissensfrage zum Banachschen Fixpunktsatz, die ich mir nicht so recht beantworten kann.
Habe im Hinterkopf aus der Vorlesung, dass es nicht egal ist welche Norm man beim Banachschen Fixpunktsatz für Kontraktionen verwendet, wenn man haben will, dass eine Funktion f im [mm] R^n [/mm] eine Kontraktion ist (also L < 1).
Es gilt aber doch, dass alle Normen im [mm] R^n [/mm] äquivalent sind. Damit muss eine Kontraktion doch zwangsweise auch unter allen Normen gelten, oder nicht?
Habe mir überlegt:
Alle Normen sind im [mm] R^n [/mm] äquivalent. Das heißt, es gibt c,d sodass für zwei Normen [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] b und [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] a gilt:
c * [mm] \parallel.\parallel [/mm] b [mm] \le \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] a [mm] \le d*\parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] b
Wenn nun für eine Funktion f gilt
[mm] \parallel [/mm] f(x) - f(y) [mm] \parallel [/mm] a [mm] \le [/mm] L [mm] \parallel [/mm] x - y [mm] \parallel [/mm] a
mit L < 1 dann muss doch auch gelten
[mm] \parallel [/mm] f(x) - f(y) [mm] \parallel [/mm] a [mm] \le [/mm] d*L [mm] \parallel [/mm] x - y [mm] \parallel [/mm] b
Wo ist da der Fehler oder habe ich mich nur verhört?
Danke und viele Grüße
Tobster
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Do 16.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe mal eine Wissensfrage zum Banachschen
> Fixpunktsatz, die ich mir nicht so recht beantworten kann.
>
> Habe im Hinterkopf aus der Vorlesung, dass es nicht egal
> ist welche Norm man beim Banachschen Fixpunktsatz für
> Kontraktionen verwendet, wenn man haben will, dass eine
> Funktion f im [mm]R^n[/mm] eine Kontraktion ist (also L < 1).
>
> Es gilt aber doch, dass alle Normen im [mm]R^n[/mm] äquivalent
> sind. Damit muss eine Kontraktion doch zwangsweise auch
> unter allen Normen gelten, oder nicht?
>
> Habe mir überlegt:
> Alle Normen sind im [mm]R^n[/mm] äquivalent. Das heißt, es gibt
> c,d sodass für zwei Normen [mm]\parallel[/mm] . [mm]\parallel[/mm] b und
> [mm]\parallel[/mm] . [mm]\parallel[/mm] a gilt:
> c * [mm]\parallel.\parallel[/mm] b [mm]\le \parallel[/mm] . [mm]\parallel[/mm] a [mm]\le d*\parallel[/mm]
> . [mm]\parallel[/mm] b
>
> Wenn nun für eine Funktion f gilt
> [mm]\parallel[/mm] f(x) - f(y) [mm]\parallel[/mm] a [mm]\le[/mm] L [mm]\parallel[/mm] x - y
> [mm]\parallel[/mm] a
>
> mit L < 1 dann muss doch auch gelten
> [mm]\parallel[/mm] f(x) - f(y) [mm]\parallel[/mm] a [mm]\le[/mm] d*L [mm]\parallel[/mm] x -
> y [mm]\parallel[/mm] b
Ja , das stimmt schon, aber es folgt:
[mm] $c||f(x)-f(y)||_b \le ||f(x)-f(y)||_a \le L||x-y||_a \le Ld||x-y||_b$
[/mm]
also
[mm] $||f(x)-f(y)||_b \le \bruch{Ld}{c}||x-y||_b$
[/mm]
Wer garantiert, dass [mm] \bruch{Ld}{c}<1 [/mm] ist ? Ich nicht !
FRED
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> Wo ist da der Fehler oder habe ich mich nur verhört?
>
> Danke und viele Grüße
>
> Tobster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Do 16.06.2011 | | Autor: | tobster |
Das habe ich übersehen!
Danke! 
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