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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Di 09.02.2010 | | Autor: | tynia |
Hallo. ich habe eine fRage zum Fixpunktsatz von Banach. Vielleicht kann mir einer von euch helfen. danke schonmal.
Es geht um den Beweis der Eindeutigkeit.
Wir nehmen an, dass x und y Fixpunkte von A mit x [mm] \neq [/mm] y sind. Dann ergibt sich wegen
0 [mm] \ne \| [/mm] x-y [mm] \| =\| [/mm] Ax-Ay [mm] \| \leq [/mm] q [mm] \| [/mm] x-y [mm] \|
[/mm]
die Forderung q [mm] \geq [/mm] 1 im Widerspruch zur Annahme der Kontraktivität von A.
Ich versteh nicht so ganz, wie man auf q [mm] \geq [/mm] 1 kommt.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo. ich habe eine fRage zum Fixpunktsatz von Banach.
> Vielleicht kann mir einer von euch helfen. danke schonmal.
>
> Es geht um den Beweis der Eindeutigkeit.
>
> Wir nehmen an, dass x und y Fixpunkte von A mit x [mm]\neq[/mm] y
> sind. Dann ergibt sich wegen
> 0 [mm]\ne \|[/mm] x-y [mm]\| =\|[/mm] Ax-Ay [mm]\| \leq[/mm] q [mm]\|[/mm] x-y [mm]\|[/mm]
>
> die Forderung q [mm]\geq[/mm] 1 im Widerspruch zur Annahme der
> Kontraktivität von A.
>
> Ich versteh nicht so ganz, wie man auf q [mm]\geq[/mm] 1 kommt.
Wir haben doch:
(*) [mm] $\| [/mm] $ x-y $ [mm] \| \leq [/mm] $ q $ [mm] \| [/mm] $ x-y $ [mm] \| [/mm] $
und [mm] $\| [/mm] $ x-y $ [mm] \| \ne [/mm] 0$. Du kannst also die Ungleichung (*) bedenkenlos durch [mm] $\| [/mm] $ x-y $ [mm] \|$ [/mm] teilen. Was erhälst Du ?
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Di 09.02.2010 | | Autor: | tynia |
 das ist jetzt klar.
aber wieso berechnet man die differnez von [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> das ist jetzt klar.
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> aber wieso berechnet man die differnez von [mm]\parallel[/mm] x-y
> [mm]\parallel[/mm] ?
Wenn man annimmt, es gäbe 2 Fixpunkte x und y mit x [mm] \ne [/mm] y, so erhäkt man über $||x-y||$ einen Widerspruch
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Di 09.02.2010 | | Autor: | tynia |
achso.vielen dank nochmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Di 09.02.2010 | | Autor: | tynia |
ich habe doch noch eine Frage. Und zwar zur Existenz eines Fixpunktes.
ich habe da nur folgende Folmel:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} A^{n}u=A\limes_{n\rightarrow\infty} A^{n-1}u=A \limes_{n'\rightarrow\infty} A^{n'}u=Au
[/mm]
Kannst du mir das jemand vielleicht in Worte fassen? Danke
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> ich habe doch noch eine Frage. Und zwar zur Existenz eines
> Fixpunktes.
>
> ich habe da nur folgende Folmel:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} A^{n}u=A\limes_{n\rightarrow\infty} A^{n-1}u=A \limes_{n'\rightarrow\infty} A^{n'}u=Au[/mm]
>
> Kannst du mir das jemand vielleicht in Worte fassen?
Ja, wenn Du mir sagst was u ist. Ich kanns mir zwar denken, aber ich hab keine Lust im Nebel zu stochern
FRED
Danke
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Di 09.02.2010 | | Autor: | tynia |
u ist ein beliebiges Element aus einem Banachraum .
[mm] A^{n}u [/mm] ist eine Folge von Abblildungen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> u ist ein beliebiges Element aus einem Banachraum .
>
> [mm]A^{n}u[/mm] ist eine Folge von Abblildungen
nein ! Folge im Banachraum
Mit obigem u def. man die Folge [mm] (x_n) [/mm] durch [mm] $x_n=A^nu$
[/mm]
Dann zeigt man , dass [mm] (x_n) [/mm] konvergiert, sagen wir gegen [mm] x_0
[/mm]
Dann: [mm] $Ax_0 [/mm] = $lim$ [mm] A(x_n)$ [/mm] = lim [mm] $A^{n+1}u [/mm] = [mm] x_0$
[/mm]
Damit ist [mm] x_0 [/mm] Fixpunkt von A
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Di 09.02.2010 | | Autor: | tynia |
und was hat es mit dem letzten teil der gleichungskette aufsich?
ich meine jetzt A [mm] \limes_{n'\rightarrow\infty}A^{n'}u
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Di 09.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist eine Art Induktionsbeweis, dun'=n-1
bis n'=1
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Mi 10.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> und was hat es mit dem letzten teil der gleichungskette
> aufsich?
> ich meine jetzt A [mm]\limes_{n'\rightarrow\infty}A^{n'}u[/mm]
Ist [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Folge, so gilt:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n-1}$
[/mm]
FRED
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