Fixpunktproblem < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Es sei 1 < a < 3. Die Funktion
$$f(x) = [mm] \frac{x}{2} [/mm] + [mm] \frac{a}{2x}$$
[/mm]
sei auf dem Intervall $I = [mm] [1,\infty)$ [/mm] definiert.
Prüfen Sie, ob $f$ dort die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt, und bestimmen sie ggf. den Fixpunkt. |
| Aufgabe 2 | | Geben Sie ein Beispiel einer stetigen Funktion, die das Intervall $(0,1)$ surjektiv auf $(0,1)$ abbildet, aber keinen Fixpunkt hat. |
Zu Aufgabe 1)
Die Voraussetzungen sind ja:
(i) $D$ vollständig
(ii) $f(D) [mm] \subset [/mm] D$
(iii) [mm] $\|f(x) [/mm] - [mm] f(y)\| \leq \lambda \| [/mm] x- [mm] y\|$ [/mm] fuer alle $x,y [mm] \in [/mm] D$ und ein [mm] $\lambda \in [/mm] [0,1)$
Meine Lsg.:
(i) $I = [mm] [1,\infty)$ [/mm] vollständig als Intervall auf [mm] $\mathbb{R}$
[/mm]
(ii) z.z.: $f(x) [mm] \geq [/mm] 1$
$f(x) = [mm] \frac{x}{2} [/mm] + [mm] \frac{a}{2x} [/mm] = [mm] \frac{x^2+a}{2x}$
[/mm]
Darauslassen sich folgende äquivalente Aussagen machen:
$$f(x) [mm] \geq [/mm] 1$$
[mm] $$\frac{x^2+a}{2x} \geq [/mm] 1$$
[mm] $$x^2-2x+a \geq [/mm] 0$$
[mm] $$x^2-2x+1+b \geq [/mm] 0 [mm] \quad [/mm] b [mm] \in [/mm] (0,2)$$
[mm] $$(x-1)^2+b \geq [/mm] 0 [mm] \quad [/mm] b [mm] \in [/mm] (0,2)$$
letzte Aussage ist offensichtlich wahr also folgt wegen der Äquivalenz:
$f(x) [mm] \geq [/mm] 1$ und damit $f(D) [mm] \subset [/mm] D$
(iii) Bei diesem Punkt fällt mir keine gescheite Umformung ein.
$$|f(x) - f(y)| = [mm] \|\frac{x}{2} [/mm] + [mm] \frac{a}{2x} [/mm] - [mm] \frac{y}{2} [/mm] - [mm] \frac{a}{2y}\|$$
[/mm]
$$ = [mm] \frac{1}{2}\|x-y+\frac{a}{x}-\frac{a}{y}\|$$
[/mm]
$$ [mm] \leq \frac{1}{2}\|x-y+\frac{a}{x}\|$$
[/mm]
...
[mm] $$\leq \lamda \|x-y\|$$
[/mm]
Wie gesagt, hier fehlt mir die richtige Idee, hoffe mir kann da jmd helfen.
Den Fixpunkt habe ich trotzdem schonmal bestimmt:
$f(x) = x [mm] \Leftrightarrow \frac{x^2+a}{2x} [/mm] = x [mm] \Leftrightarrow x^2+a [/mm] = [mm] 2x^2 \Leftrightarrow [/mm] x = [mm] \sqrt(a)$
[/mm]
b) Alle Funktionen der Form $f(x) = [mm] x^p$ [/mm] mit $p [mm] \in \mathbb{R}_+\setminus\{1\}$ [/mm] müssten doch das gewünschte erfüllen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Fr 14.08.2009 | | Autor: | cycore |
hallo....
> Es sei 1 < a < 3. Die Funktion
> [mm]f(x) = \frac{x}{2} + \frac{a}{2x}[/mm]
> sei auf dem Intervall [mm]I = [1,\infty)[/mm]
> definiert.
>
> Prüfen Sie, ob [mm]f[/mm] dort die Voraussetzungen des Banachschen
> Fixpunktsatzes erfüllt, und bestimmen sie ggf. den
> Fixpunkt.
> Geben Sie ein Beispiel einer stetigen Funktion, die das
> Intervall [mm](0,1)[/mm] surjektiv auf [mm](0,1)[/mm] abbildet, aber keinen
> Fixpunkt hat.
> Zu Aufgabe 1)
>
> Die Voraussetzungen sind ja:
>
> (i) [mm]D[/mm] vollständig
>
> (ii) [mm]f(D) \subset D[/mm]
>
> (iii) [mm]\|f(x) - f(y)\| \leq \lambda \| x- y\|[/mm] fuer alle [mm]x,y \in D[/mm]
> und ein [mm]\lambda \in [0,1)[/mm]
>
>
> Meine Lsg.:
>
> (i) [mm]I = [1,\infty)[/mm] vollständig als Intervall auf
> [mm]\mathbb{R}[/mm]
>
Also hier das folgende ist zwar richtig soweit ich sehe, aber natürlich unschön..wenn du das andersrum schreibst (also aus dem letzten das erste folgerst) sieht das besser aus..
> (ii) z.z.: [mm]f(x) \geq 1[/mm]
> [mm]f(x) = \frac{x}{2} + \frac{a}{2x} = \frac{x^2+a}{2x}[/mm]
>
> Darauslassen sich folgende äquivalente Aussagen machen:
>
> [mm]f(x) \geq 1[/mm]
> [mm]\frac{x^2+a}{2x} \geq 1[/mm]
> [mm]x^2-2x+a \geq 0[/mm]
>
> [mm]x^2-2x+1+b \geq 0 \quad b \in (0,2)[/mm]
> [mm](x-1)^2+b \geq 0 \quad b \in (0,2)[/mm]
>
> letzte Aussage ist offensichtlich wahr also folgt wegen der
> Äquivalenz:
> [mm]f(x) \geq 1[/mm] und damit [mm]f(D) \subset D[/mm]
>
> (iii) Bei diesem Punkt fällt mir keine gescheite Umformung
> ein.
>
> [mm]|f(x) - f(y)| = \|\frac{x}{2} + \frac{a}{2x} - \frac{y}{2} - \frac{a}{2y}\|[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2}\|x-y+\frac{a}{x}-\frac{a}{y}\|[/mm]
> [mm]\leq \frac{1}{2}\|x-y+\frac{a}{x}\|[/mm]
>
> ...
> [mm]\leq \lamda \|x-y\|[/mm]
>
> Wie gesagt, hier fehlt mir die richtige Idee, hoffe mir
> kann da jmd helfen.
>
>
Die funktion ist doch differenzierbar..also gilt wegen dem mittelwertsatz
[mm] \bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \le [/mm] sup_(x [mm] \in [/mm] D) (f'(x))
kannst du damit was anfangen?!?
>
> Den Fixpunkt habe ich trotzdem schonmal bestimmt:
>
> [mm]f(x) = x \Leftrightarrow \frac{x^2+a}{2x} = x \Leftrightarrow x^2+a = 2x^2 \Leftrightarrow x = \sqrt(a)[/mm]
>
>
>
> b) Alle Funktionen der Form [mm]f(x) = x^p[/mm] mit [mm]p \in \mathbb{R}_+\setminus\{1\}[/mm]
> müssten doch das gewünschte erfüllen.
>
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