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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:23 Di 10.04.2012 | | Autor: | xPae |
| Aufgabe | ITerationen sind nützliche Tools. Es sei [mm] c\not= [/mm] 0. Zeige, dass die Iteration
[mm] x_{k+1}=2x_{k}-c*x_{k}^{2}, [/mm] k=1,2,...
den Fixpunkt [mm] \xi=1/c [/mm] hat. Gibt es weitere Fixpunkte? Welche sind attraktiv, welche reupulsiv?
Schätzen Sie ein möglichst großes Intervall (a,b) für Startwerte [mm] x_0 [/mm] so ab, dass Konvergenz immer eintritt, wenn [mm] x_0 \varepsilon [/mm] (a,b) ist. Leiten Sie die Iterationsvorschrift her. |
Guten Abend liebes Forum,
ich denke es geht hier um den Banach'schen Fixpunktsatz, den wir leider nicht wirklich besprochen haben. (ist eine Zusatzaufgabe)
Ich weiss jedoch nicht genau wie ich dann daraus den Fixpunkt bestimmen kann. Damit kann ich doch nur zeigen, wenn eine Konstante q kleiner 1 (postivi) exisitert und |F(x)-F(y)| [mm] \le [/mm] q|x-y| erfüllt ist, gilt:
F hat einen Fixpunkt [mm] \xi \varepsilon [/mm] [a,b]
und die Fixpunktiteration [mm] x_{k+1}=F(x_{k}) [/mm] konvergiert gegen [mm] \xi [/mm] für alle Startwerte von [mm] x_{0} \varepsilon [/mm] [a,b]
Welche Fixpunkte attraktiv und welche repusliv sind, würde ich die Ablitung bilden und dann in abhängigkeit von c (wahrscheinlich) werte für kleiner/größer eins festlegen und somit diesen Aufgabenteil erledigen.
Denkt ihr bei der Herleitung ist die allg. Vorschrift gemeint?
Liebe Grüße und Vielen dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Di 10.04.2012 | | Autor: | xPae |
Ich hab mir überlegt, wenn man den Fixpunkt direkt berechnen kann, muss gelten:
[mm] x=2*x-c*x^{2}
[/mm]
woraus dann direkt für x=1/c und x=0 folgt, demnach ist das geklärt oder ?
Wenn ich jetzt überpürfe welche Fixpunkte attraktiv sind:
f'(x)=2-2*c*x=2(1-c*x)
und Einsetzen...
sry dass ich jetzt hier immer editiere, aber komme eig selber immer bissl weiter ; )
Ich habe jetzt gezeigt, dass 1/c ein attraktiver und 0 ein repulsiver Fixpunkt ist. Wenn ich jetzt einen Bereich schätzen soll, dann muss doch im Prinzip| F(x)-F(y)| [mm] \le [/mm] q| x-y| für den schlechtesten Fall q=0,99 oder ähnliches wählen.
Ich weiss, dass gilt: q [mm] \approx f'(\xi) [/mm] , wenn [a,b] nache am Fixpunkt gewählt werden, allerdings zerstört mir ja diese Bedingung mein möglichst großes Intervall?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 12.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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