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Fixpunktiteration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Sa 22.11.2008
Autor: Joan2

Aufgabe
Betrachten Sie die Funktion [mm] \phi: \IR \to \IR [/mm] definiert durch

[mm] \phi(x):=x^{3} [/mm]

a) Ermittlen Sie, für welche Startwerte das Iterationsverfahren

[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \phi(x_{n}) [/mm]        n=0,1,....

zum Finden eines Fixpunktes der Funktion [mm] \phi [/mm] konvergiert und welche Konvergenzordnung es besitzt.

b) Ermittlen Sie, für welche Startwerte die Newton-Methode zum Finden einer Nullstelle der Funktion [mm] \phi [/mm] konvergiert und welche Konvergenzordnung sie besitzt.

Ich habe zunächst so angefangen:

[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{n}^{3} [/mm]

[mm] x_{n} [/mm] = [mm] x_{n-1}^{3} [/mm]

[mm] x_{n-1} [/mm] = [mm] x_{n-2}^{3} [/mm]

[mm] \vdots [/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{1}^{3} [/mm]

[mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{0}^{3} [/mm]

d.h     [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{0}^{3(n+1)} [/mm]

Die Funktion von [mm] x^{3} [/mm] hat die Nullstellen zwischen [mm] [\pm0.5, [/mm] 0]

Wenn ich das Iterationsverfahren anwenden, erhalte ich:

[mm] x_{0} [/mm] = 0.5
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] 0.5^{3} [/mm] = 0.125
[mm] x_{2} [/mm] = 0.001953125
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] 7.45058596*10^{-9} [/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] 7.45058595*10^{-729} [/mm]
[mm] x_{5} [/mm] = [mm] 7.45058595*10^{-3.87420489*10^{8}} [/mm]

Nun meine Fragen:
1) Ist das überhaupt richtig, dass dann Startwert [mm] x_{0} [/mm] = 0.5 ist???????

2) Um die Konvergenzordnung zu berechnen, muss ich mir für

[mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{0}| \le c*|x_{n}-x_{0}|^p [/mm]

ein Beispiel nehmen und nach p auflösen?

3) Wie erhalte ich [mm] f(x_{n}) [/mm] bei der Newton-Methode
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] - [mm] \bruch{f(x_{n})}{f'(x_{0})} [/mm]


Kann mir jemand weiter helfen?


Liebe Grüße
Joan



        
Bezug
Fixpunktiteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:27 Sa 22.11.2008
Autor: MathePower

Hallo Joan2,

> Betrachten Sie die Funktion [mm]\phi: \IR \to \IR[/mm] definiert
> durch
>
> [mm]\phi(x):=x^{3}[/mm]
>  
> a) Ermittlen Sie, für welche Startwerte das
> Iterationsverfahren
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\phi(x_{n})[/mm]        n=0,1,....
>  
> zum Finden eines Fixpunktes der Funktion [mm]\phi[/mm] konvergiert
> und welche Konvergenzordnung es besitzt.
>  
> b) Ermittlen Sie, für welche Startwerte die Newton-Methode
> zum Finden einer Nullstelle der Funktion [mm]\phi[/mm] konvergiert
> und welche Konvergenzordnung sie besitzt.
>  Ich habe zunächst so angefangen:
>  
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_{n}^{3}[/mm]
>  
> [mm]x_{n}[/mm] = [mm]x_{n-1}^{3}[/mm]
>  
> [mm]x_{n-1}[/mm] = [mm]x_{n-2}^{3}[/mm]
>  
> [mm]\vdots[/mm]
>  [mm]x_{2}[/mm] = [mm]x_{1}^{3}[/mm]
>  
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{0}^{3}[/mm]
>  
> d.h     [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_{0}^{3(n+1)}[/mm]
>  
> Die Funktion von [mm]x^{3}[/mm] hat die Nullstellen zwischen
> [mm][\pm0.5,[/mm] 0]
>  
> Wenn ich das Iterationsverfahren anwenden, erhalte ich:
>  
> [mm]x_{0}[/mm] = 0.5
>  [mm]x_{1}[/mm] = [mm]0.5^{3}[/mm] = 0.125
>  [mm]x_{2}[/mm] = 0.001953125
>  [mm]x_{3}[/mm] = [mm]7.45058596*10^{-9}[/mm]
>  [mm]x_{4}[/mm] = [mm]7.45058595*10^{-729}[/mm]
>  [mm]x_{5}[/mm] = [mm]7.45058595*10^{-3.87420489*10^{8}}[/mm]
>  
> Nun meine Fragen:
>  1) Ist das überhaupt richtig, dass dann Startwert [mm]x_{0}[/mm] =
> 0.5 ist???????


Ja, der Startwert ist in Ordnung, da

[mm]\vmat{\phi'\left(x_{0}\right)}=\left|3x_{0}^{2}\right| \le 1[/mm]


>
> 2) Um die Konvergenzordnung zu berechnen, muss ich mir für
>  
> [mm]|x_{n+1}[/mm] - [mm]x_{0}| \le c*|x_{n}-x_{0}|^p[/mm]
>  
> ein Beispiel nehmen und nach p auflösen?


In der Numerik spricht man von Konvergenz der Ordnung p, wenn sich die
Anzahl der Dezimalstellen in jedem Iterationsschritt ver-p-facht.


>  
> 3) Wie erhalte ich [mm]f(x_{n})[/mm] bei der Newton-Methode
>  [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_{n}[/mm] - [mm]\bruch{f(x_{n})}{f'(x_{0})}[/mm]
>  

Ich weiss hier nicht, ob diese Methode gemeint ist:

[mm]x_{n+1} = x_{n} - \bruch{f(x_{n})}{f'(x_{\blue{n})}[/mm]


>
> Kann mir jemand weiter helfen?
>  
>
> Liebe Grüße
>  Joan
>  
>  


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Fixpunktiteration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Sa 22.11.2008
Autor: Joan2

Danke erstmal, dass du mir wieder hilfst ^^

Hast recht bei der Newton-Methode habe ich mich verschrieben gehabt. Im Prinzip würde diese Aufgabe doch wie a) gelöst werden. Wie schon erwähnt, weiß ich nicht wie ich auf dieses [mm] f(x_{n}) [/mm] komme.

Eigentlich ist ja

f(x) = x - [mm] \phi(x) \Rightarrow [/mm]  x = [mm] \phi(x) [/mm]

aber f(x) muss ja gleich Null sein, sonst könnte man nicht umformen. Aber bei b) ist [mm] f(x_{n}) [/mm] doch nicht gleich Null??

Bezug
                        
Bezug
Fixpunktiteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Sa 22.11.2008
Autor: MathePower

Hallo Joan2,

> Danke erstmal, dass du mir wieder hilfst ^^
>  
> Hast recht bei der Newton-Methode habe ich mich
> verschrieben gehabt. Im Prinzip würde diese Aufgabe doch
> wie a) gelöst werden. Wie schon erwähnt, weiß ich nicht wie
> ich auf dieses [mm]f(x_{n})[/mm] komme.
>  
> Eigentlich ist ja
>
> f(x) = x - [mm]\phi(x) \Rightarrow[/mm]  x = [mm]\phi(x)[/mm]
>  
> aber f(x) muss ja gleich Null sein, sonst könnte man nicht
> umformen. Aber bei b) ist [mm]f(x_{n})[/mm] doch nicht gleich Null??


Laut Aufgabenteil b) sollst Du eine Nullstelle der Funktion [mm]\phi\left(x\right)=x^{3}[/mm] mit Hilfe der Newton-Methode finden.
Damit ist [mm]f\left(x\right)[/mm] durch die Funktion [mm]\phi\left(x\right)[/mm] festgelegt.


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Fixpunktiteration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:23 Sa 22.11.2008
Autor: Joan2

Achsoo. Okay, dann versuch ich es mal, danke nochmals ^^

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