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| Aufgabe | 1) [mm] f(x)=2x-4-ln(\wurzel{x}), [/mm] x>0.
a) Bestimmen Sie zu x1 und x2 Fixpunktgleichungen T1x=x und T2x=x und jeweils Intervalle (a1,b1),(a2,b2), so dass [mm] x1\in(a1,b1), x2\in(a2,b2) [/mm] gilt und außerdem gilt dass:
b) T1 (a1,b1) Teilmenge von (a1,b1), T2 (a2,b2) Teilmenge von (a2,b2) und T1 auf (a1,b1) und T2 auf (a2,b2) kontraktiv sind.
c) Geben Sie die Kontraktionskonstanten k1, k2 an. |
Hallo,
die runden Klammern sollen alle immer Intervalle sein.
Habe leider überhaupt nich verstanden, wie man einfach so Fixpunktgleichungen zustande bringen kann.... Und mit den anderen Teilaufgaben weiß ich auch nicht weiter. Es ist wirklich ein Notfall!! Kann mir das irgendjemand nochmal schrittweise erklären, wie ich da vorgehen muss? Das wäre total toll!!
So nach der Definition weiß ich auch was kontraktiv bedeutet, aber wie ich das jetzt auf so eine Aufgabe anwenden soll, weiß ich wirklich nicht.
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Do 10.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
einen Fixpkt hast du doch wenn x=f(x) ist. schreib das auf und vereinfache.
dann hast du [mm] ln(\wurzel{x})=...
[/mm]
zeichne beide Seiten und stell fest dass es wirklich 2 Lösungen gibt!
dann schrib die gleichung als [mm] ln(\wurzel{x})-(x-4)=0
[/mm]
kennst du jetzt ein Verfahren, um Nullstellen zu finden? auch eins was konvergiert? dann nimm das für T1 oder T2!
Gruss leduart
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Hallo,
das mit den Fixpunktgleichungen verstehe ich nicht. - Also ich verstehe nicht, wie man durch Umformungen darauf kommen soll. Am Fixpunkt ist f(x)=x Ok. Das ist einleuchtend.
Ich habe in meinen Aufgaben z.B. eine Funktion:
[mm] x^2-(1/3)x^3-(1/3)=0
[/mm]
Und dann wird gesagt, dass sich diese Funktion in folgende Fixpunktgleichung umformen lässt:
[mm] x=(1/\wurzel{3})*\wurzel{x^3+1} [/mm] ; 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
Aber wie sind da die Zwischenschritte? Kann mir da jemand Licht in die Sache bringen?
Viele Grüße,
Anna
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>
> soll. Am Fixpunkt ist f(x)=x
> Ich habe in meinen Aufgaben z.B. eine Funktion:
> [mm]x^2-(1/3)x^3-(1/3)=0[/mm]
> Und dann wird gesagt, dass sich diese Funktion in folgende
> Fixpunktgleichung umformen lässt:
> [mm]x=(1/\wurzel{3})*\wurzel{x^3+1}[/mm] ; 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
> Aber wie sind da die Zwischenschritte?
Hallo,
das ist ziemlich einfach.
[mm] x^2-(1/3)x^3-(1/3)=0
[/mm]
<==>
Jetzt mach weiter.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ja ok, sehe ich jetzt auch.... einfach die Wurzel gezogen.
Aber wie bekomme ich jetzt aus der angegebenen Funktion zwei Fixpunktgleichungen?? Sehe ich das richtig, dass eine Fixpunktgleichung wäre:
[mm] x=2+ln(\wurzel{3})/2 [/mm] ???
Aber wie kann ich jetzt eine zweite bekommen??? Nur indem ich diese Logarithmusklammer nach x auflöse??? Und was hat das dann in dieser Aufgabe mit den ganzen Intervallen zu bedeuten? Wie sollen denn meine Fixpunktgleichungen T1 und T2 in den Intervallen enthalten sein? Und wie mache ich das so herum mit der Kontraktion???
Oh weh! Kann mir hier jemand irgendwie helfen????
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mo 29.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die fkt ist fuer x>0 stetig.
2. bei sehr kleinen x etwa [mm] x=10^{-4} [/mm] ist f positiv, bei x=1/10 ist x=1/10 ist es negativ. also liegt dazwischen mindestens eine Nullstelle!
bei x=1/4 hat f ein Minimum, weitere extrema hat es nicht, also faellt es von x=1/10000 bis x=1/4 monoton und steigt danach monoton, bei x=10 ist f wieder pos. also zw. 1/10 und 10 noch ne Nullstelle. keine weitere wegen des monotonen steigens.
3. die fixpunkte finden!
a)x=f(x) folgt [mm] x=2+ln(\sqrt{x})=g(x)
[/mm]
jetzt such dir ein Intervall wo |g(x)|<1
dann iterier die Abb f(x), fang etwa mit x1=5 an berechne g(5), dann x2=g(5) x3 berechnen usw. warum konvergiert das gegen den Fixpunkt?
erstens solltest du wissen, warum, 2. zeichne die fkt g, und y=x fang in der Naehe vom Schnittpunkt an, und veranschauliche deine Schritte! dann siehst du warum.
Gruss leduart
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Hallo,
ich muss nochmal auf diese Aufgabe zurückkommen...
Also, ich kenne kein Verfahren, das kontrahiert und mit dem ich die beiden Nullstellen bestimmen kann... ich kenne nur das Verfahren, die 1.Ableitung gleich 0 zu setzen und dann nach x aufzulösen.. kann ich das hier anwenden?? Aber das kontrahier wahrscheinlich nicht, oder?? Und damit zeige ich dann wahrscheinlich, weil es nicht global ist, nicht, dass es GENAU zwei Nullstellen gibt, nicht wahr?
Was kann man denn da machen???
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mo 29.09.2008 | | Autor: | leduart |
siehe die Antwort oben.
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