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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Natürlich beschäftige ich mich immer noch mit der Klausurvorbereitung!
Dazu wieder eine Aufgabe.
Zeigen Sie, dass 4cos(x)=x mind. zwei verschiedene Lösungen x aus den reelen Zahlen hat!
Leider habe ich da überhaupt keinen Ansatz, da wir eine solche Aufgabe noch nicht behandelt haben.
Von daher wäre es schön, wenn mir jemand seinen Lösungsvorschlag ausführlich vorstellen könnte!
Danke schon einmal im voraus!
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
Betrachte mal die Funktion
$F(x) = [mm] 4\cos(x)-x$
[/mm]
und rechne diese an den Stellen [mm] $-\pi$, [/mm] $0$ und [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] aus.
(Ich denke, man darf die Kenntnis von [mm] $\pi<4$ [/mm] voraussetzen.)
Und dann gibt es da ja so schöne Sätze über stetige Funktionen und deren Nullstellen... 
Stell uns die Lösung doch jetzt mal zur Kontrolle vor.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Stefan!
Okay, das Brett vor dem Kopf ist weg!
Also:
Definiere g(x):=4cos(x)-x für reele x.
g ist als Verknüfung stetiger Funktionen stetig.
Dann gilt:
[mm]g(-\pi)=-4+\pi <0[/mm]
[mm]g(0)=4 >0[/mm]
[mm]g(\pi/2)=-\pi/2 <0[/mm]
Dann existieren [mm] x_1 \in (-\pi,0), x_2 \in (0,\pi/2)[/mm] mit
[mm] 4cos(x_k) [/mm] = [mm] x_k [/mm] für k=1,2
Das dürfte dann der Zwischenwertsatz von Bolzano gewesen sein!
Eigentlich ganz einfach.
Ich hatte aber am Anfang Probleme, diesen Aufgabentyp zuzuordnen!
Es kann also sein, dass bis zur Klausur noch solche Fragen kommen.
Gruss,
Wurzelpi
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