Fixpunkt < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Di 24.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel eines vollständigen metrischen Raumes X sowie einer Abbildung f:X [mm] \to [/mm] X derart an, dass d(f(x),f(y)) < d(x,y) für alle x [mm] \not=y [/mm] gilt, jedoch f keinen Fixpunkt besitzt. |
Guten Tag^^,
ich hab jetzt schon einiges an dieser Aufgabe rumprobiert. Entweder kriege ich Funktionen, die keine Fixpunkte haben, aber für die die geforderte Eigenschaft nicht gilt. Oder es gilt die geforderte Eigenschaft und die Funktion hat aber doch Fixpunkte.
Ich hab erstmal [mm] \IR [/mm] und [mm] \IZ [/mm] als Auswahl für einen vollständig metrischen Raum. Ich hab folgende Funktion betrachtet:
1. [mm] f:\IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{1}{\wurzel{1+x^{2}}}. [/mm]
Als Testwerte habe ich ein paar eingesetzt und es scheint, dass d(f(x),f(y))<d(x,y), wobei ich als Metrik d(x,y):=|x-y| genommen habe. Aber f hat auch Fixpunkte, also kann ich die nicht nehmen.
Wobei vielleicht doch.Mit [mm] \IZ [/mm] sollte es gehen,also so:
2. [mm] f:\IZ \to \IZ, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{1}{\wurzel{1+x^{2}}}.
[/mm]
Denn dann liegen die beiden Fixpunkte nicht in [mm] \IZ,also [/mm] hat sie keine Fixpunkte.
Außerdem habe ich
3. [mm] f:\IZ \to \IZ, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] -2x+1.
Die hat keine Fixpunkte, aber es gilt nicht d(f(x),f(y))<d(x,y) wieder mit derselben Metrik wie oben.
Also ich denke die zweite Abbildung erfüllt die in der Aufgabe geforderten Bedingungen.Kann mir das jemand bestätigen?
Ich muss das dann natürlich noch sauber beweisen,aber erst wenn ich weiß, dass es auch so stimmt.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Di 24.05.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Geben Sie ein Beispiel eines vollständigen metrischen
> Raumes X sowie einer Abbildung f:X [mm]\to[/mm] X derart an, dass
> d(f(x),f(y)) < d(x,y) für alle x [mm]\not=y[/mm] gilt, jedoch f
> keinen Fixpunkt besitzt.
Das ist doch fast, aber eben nicht ganz der Banachsche Fixpunktsatz. An dem könntest du dich bei der Konstruktion eines (Gegen-)Beispiels orientieren. Ich habe eine Skizze mitgeschickt, von der ich aber noch nicht weiß, ob man sie richtig erkennt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 24.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo statler,
> > Geben Sie ein Beispiel eines vollständigen metrischen
> > Raumes X sowie einer Abbildung f:X [mm]\to[/mm] X derart an, dass
> > d(f(x),f(y)) < d(x,y) für alle x [mm]\not=y[/mm] gilt, jedoch f
> > keinen Fixpunkt besitzt.
>
> Das ist doch fast, aber eben nicht ganz der Banachsche
> Fixpunktsatz. An dem könntest du dich bei der Konstruktion
> eines (Gegen-)Beispiels orientieren. Ich habe eine Skizze
> mitgeschickt, von der ich aber noch nicht weiß, ob man sie
> richtig erkennt.
Danke, man erkennt deine Skizze.Beim Fixpunktsatz ist es doch so, dass d(f(x),f(y)) [mm] \le [/mm] a*d(x,y), wobei 0<a<1 ist. Wenn a also kleiner als 1 ist, ist die Ungleichung gleichbedeutend mit
d(f(x),f(y)) [mm] \le \bruch{1}{N}*d(x,y), [/mm] wobei N eine natürliche Zahl ist. Jetzt multipliziere ich alles mit N und es gilt:
N*d(f(x),f(y)) [mm] \le [/mm] d(x,y). Wenn ein Vielfaches von d(f(x),f(y)) schon kleiner gleich d(x,y) dann muss es doch auch insbesondere für N=1 gelten und dann ist es doch genau das was in der Aufgabe steht oder nicht?
Zu der Skizze: Deine Skizze veranschaulicht, dass f(x) immer kleiner als x sein muss und das man das Gegenbeispiel durch lineare Funktionen konstruieren kann, die steigen? Eine lineare Funktion hatte ich schon angegeben, f(x)=-2x+1, aber das funktioniert leider nicht, denn eine lineare Funktion wird immer einen Fixpunkt haben.
Wenn f(x) immer kleiner als x sein muss, dann würde ich so ansetzen:
[mm] f(x)=\bruch{1}{...}. [/mm] Jetzt habe ich wieder das Problem von vorhin.
Ich hab schon so viele Sachen im Nenner ausprobiert,aber es klappt nicht.
Wie geht man denn systematisch an sowas ran?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Mi 25.05.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Zu der Skizze: Deine Skizze veranschaulicht, dass f(x)
> immer kleiner als x sein muss und das man das Gegenbeispiel
> durch lineare Funktionen konstruieren kann, die steigen?
> Eine lineare Funktion hatte ich schon angegeben,
> f(x)=-2x+1, aber das funktioniert leider nicht, denn eine
> lineare Funktion wird immer einen Fixpunkt haben.
> Wenn f(x) immer kleiner als x sein muss, dann würde ich so
> ansetzen:
Du kannst z. B. f definieren durch
[mm] f(x)=\begin{cases} x-\bruch{1}{2}e^x & \mbox{für } x \le 0 \\ \bruch{1}{2}x - \bruch{1}{2} & \mbox{für } x > 0 \end{cases}
[/mm]
Die Steigung dieser Funktion f ist immer kleiner 1, also ist nach dem Mitttelwertsatz die Voraussetzung erfüllt. Sie hat keinen Fixpunkt, weil sie immer kleiner x ist, Fixpunkt bedeutet ja f(x) = x.
Nachtrag: Die Idee unten von WWatson sieht dieser sehr ähnlich und tut es auch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Di 24.05.2011 | | Autor: | WWatson |
Hallo, Mandy,
das Problem bei Deiner 2. Abbildung ist wohl, dass sie nicht wohldefiniert ist. Die Definition einer Abbildung ist ja grade: X, Y zwei Mengen. f: X -> Y heißt Abbildung, falls:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X : [mm] \exists [/mm] ! y [mm] \in [/mm] Y , sodass f(x) = y. Du hast Dir aber durch Deine Abbildung Elemente in [mm] \IZ [/mm] geschaffen, die kein Bild bei f in [mm] \IZ [/mm] haben.
Z.B. für x=3 ist f(3) = [mm] 1/\wurzel{10} [/mm] . Dein Funktionswert ist aber kein El't von [mm] \IZ [/mm] mehr.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Di 24.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo, Mandy,
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> das Problem bei Deiner 2. Abbildung ist wohl, dass sie
> nicht wohldefiniert ist. Die Definition einer Abbildung ist
> ja grade: X, Y zwei Mengen. f: X -> Y heißt Abbildung,
> falls:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X : [mm]\exists[/mm] ! y [mm]\in[/mm] Y , sodass f(x) = y. Du
> hast Dir aber durch Deine Abbildung Elemente in [mm]\IZ[/mm]
> geschaffen, die kein Bild bei f in [mm]\IZ[/mm] haben.
> Z.B. für x=3 ist f(3) = [mm]1/\wurzel{10}[/mm] . Dein Funktionswert
> ist aber kein El't von [mm]\IZ[/mm] mehr.
>
Ach stimmt, das habe ich gar nicht bedacht. Schade,dann klappts doch nicht.
Danke für den Hinweis.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Di 24.05.2011 | | Autor: | WWatson |
Hallo, Mandy,
anhand von statlers Skizze (vielen Dank dafür, statler!) habe ich jetzt mal einige Funktionen geplottet und bin zu einer vorläufigen Lösung gekommen.
Die Idee mit der Kombination aus linearen Funktionen ist schonmal gut, aber, wie Du richtig bemerkt hast, besitzen diese immer einen Fixpunkt.
Die Idee ist nun, die Funktion so zu modifizieren, dass sie keinen Fixpunkt mehr besitzt. Ich habe mir dazu folgende Funktion definiert:
[mm] f(x)=\begin{cases} (1/2)x -1,5, & \mbox{für } x \ge -1 \\ (1/x) +x , & \mbox{für } x<-1 \end{cases}
[/mm]
Zeichne Dir diese Funktion am Besten einmal in ein Koordinatensystem, zusammen mit f(x) = x, dann sollte die Idee erkennbar sein.
Jetzt ist eben nur noch zu zeigen, dass die so definierte Abbildung tatsächlich keinen Fixpunkt besitzt und dass sie die geforderte Eigenschaft d(x, y) > d (f(x), f(y)) erfüllt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Mi 25.05.2011 | | Autor: | studi_mr |
Ich könnte mich irren, aber
müsste nicht der Fixpunkt von [mm] \bruch{1}{2}x-1.5 [/mm] bei 48.5 sein und damit im Bereich x [mm] \ge [/mm] -1 ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mi 25.05.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich könnte mich irren, aber
> müsste nicht der Fixpunkt von [mm]\bruch{1}{2}x-1.5[/mm] bei 48.5
> sein und damit im Bereich x [mm]\ge[/mm] -1 ?
Könntest du diesen Einwand mal etwas erläutern, nach meiner Auffasung von Fixpunkten wäre es x = -3, und da sieht die Funktion anders aus.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Mi 25.05.2011 | | Autor: | WWatson |
Hallo, studi_mr,
ein Fixpunkt liegt ja gerade dann vor, wenn:
[mm] \exists x_{0} \in \IR [/mm] : [mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] x_{0}.
[/mm]
Man würde ihn also errechnen, indem man f(x) = x setzt.
Und diese Rechnung liefert für den "Geradenbereich" meiner Funktion, also
x [mm] \ge [/mm] -1 gerade -3, wie statler richtig schreibt. Für x = -3 muss aber die zweite Funktion verwendet werden, diese besitzt gar keinen Fixpunkt und daher ist dort auch -3 keiner.
Wie kommst Du auf Deinen Wert für den Fixpunkt?
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo WWatson,
> [mm]f(x)=\begin{cases} (1/2)x -1,5, & \mbox{für } x \ge -1 \\ (1/x) +x , & \mbox{für } x<-1 \end{cases}[/mm]
>
Vielen Dank.Ich habe mir diese Funktionen mal angeschaut.
> Jetzt ist eben nur noch zu zeigen, dass die so definierte
> Abbildung tatsächlich keinen Fixpunkt besitzt und dass sie
> die geforderte Eigenschaft d(x, y) > d (f(x), f(y))
> erfüllt.
Ich hab schon bewiesen,dass die Funktion keinen Fixpunkt besitz und muss noch d((f(x),f(y))<d(x,y) zeigen.
Zuerst für x<-1: Es ist d(x,y)=|x-y| und [mm] d(f(x),f(y))=|\bruch{1}{x}+x-\bruch{1}{y}-y|. [/mm] Ansatz: [mm] |\bruch{1}{x}+x-\bruch{1}{y}-y|<|x-y|.
[/mm]
Jetzt wiß ich nicht, wie ich mit den Betragsstrichen umgehe, darf ich x subtrahieren und y addieren,sodass ich [mm] 1<|\bruch{x}{y}| [/mm] erhalte. Das bringt mir aber nichts. Das Problem sind die Betragsstriche.
Für x [mm] \ge [/mm] -1 hat es geklappt.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mi 25.05.2011 | | Autor: | WWatson |
Hallo, Mandy,
der Betrag einer komplexen Zahl ist ja definiert durch:
z = a+ib [mm] \in \IC: [/mm] |a+ib| = [mm] \wurzel{a²+b²} [/mm] , also für reelle Zahlen entsprechend: [mm] \wurzel{a²} [/mm] .
Ich habe also im Prinzip mit [mm] \wurzel{a²} [/mm] = a weitergerechnet. Sauberer wäre es aber wohl, wenn Du einschränkst, dass zB x<y , eben so, dass es jeweils passt, das sollte eigentlich auch funktionieren.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> der Betrag einer komplexen Zahl ist ja definiert durch:
>
> z = a+ib [mm]\in \IC:[/mm] |a+ib| = [mm]\wurzel{a²+b²}[/mm] , also für
> reelle Zahlen entsprechend: [mm]\wurzel{a²}[/mm] .
> Ich habe also im Prinzip mit [mm]\wurzel{a²}[/mm] = a
> weitergerechnet. Sauberer wäre es aber wohl, wenn Du
> einschränkst, dass zB x<y , eben so, dass es jeweils
> passt, das sollte eigentlich auch funktionieren.
Also ich rechne jetzt [mm] d(f(x),f(y)=|\bruch{1}{x}+x-\bruch{1}{y}-y| [/mm] < |x-y|. Daraus folgt [mm] \bruch{1}{x}+x-\bruch{1}{y}-y [/mm] < x-y.
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{x}-\bruch{1}{y} [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] y < x.
Das heißt, wenn ich die Funktion definiere, setze ich voraus, Dass y<x ist. Dann erhalte ich nämlich eine wahre Aussage und es ist bewiesen.Geht das so?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mi 25.05.2011 | | Autor: | WWatson |
Ja, im Prinzip schon. Aber das setzt Du nicht voraus, wenn Du die Funktion definierst, sondern erst, wenn Du die jeweiligen Fallunterscheidungen machst. Das darfst Du ja deswegen, weil die zu zeigende Eigenschaft
[mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in \IR [/mm] mit x [mm] \not= [/mm] y gelten muss. Deswegen kannst Du ohne Einschränkung voraussetzen, dass ein El't größer als das andere ist. Welches, ist ja egal, denn für eine Metrik gilt ja immer d(x,y) = d(y,x).
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mi 25.05.2011 | | Autor: | WWatson |
P.S.: Du musst jeweil die gegenseitige Lage von x und y zum Anlass Deiner Fallunterscheidungen nehmen.
Also: 1. x [mm] \ge [/mm] -1, y [mm] \ge [/mm] -1
2. x [mm] \ge [/mm] -1, y < -1
3. x < -1 , y < -1
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hey,
> P.S.: Du musst jeweil die gegenseitige Lage von x und y zum
> Anlass Deiner Fallunterscheidungen nehmen.
> Also: 1. x [mm]\ge[/mm] -1, y [mm]\ge[/mm] -1
> 2. x [mm]\ge[/mm] -1, y < -1
> 3. x < -1 , y < -1
Wieso muss ich denn die ersten beiden Fälle untersuchen? [mm] f(x)=\bruch{1}{x}+x [/mm] definieren wir doch nur für x<-1.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mi 25.05.2011 | | Autor: | WWatson |
Das musst Du deswegen, weil die Eigenschaft, die Du zeigen willst, ja gerade heißt:
[mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in \IR [/mm] : d(x,y) > d(f(x),f(y)).
Also muss es insbesondere auch gelten, wenn zB x=-4 (also <-1) und y=1 (also [mm] \ge [/mm] -1) ist. Und da die Funktion aus zwei anderen zusammengesetzt ist, müssen diese drei Fälle unterschieden werden.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Do 26.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo WWatson,
ich neheme jetzt den ersten Teil der Funktion und will zeigen, dass d(f(x),f(y))<d(x,y) für alle x,y gilt.
d(f(x),f(y))<d(x,y) [mm] \gdw \bruch{1}{x} [/mm] < [mm] \bruch{1}{y}.
[/mm]
Muss ich jetzt an dieser Stelle die Fallunterscheidung machen? Ich verstehe das nicht ganz, z.B. hab ich den ersten Fall: x [mm] \ge [/mm] -1 und y [mm] \ge [/mm] -1. Dann ist
1 < [mm] \bruch{x}{y} [/mm] nicht unbedingt richtig, denn ich kann für 2 und für y 4 einsetzen und die Aussage stimmt nicht. Genau so ist es auch bei den anderen beiden Fällen.
Was verstehe ich hier falsch?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Do 26.05.2011 | | Autor: | WWatson |
Hallo, Mandy,
beim Fall x [mm] \ge [/mm] -1, y [mm] \ge [/mm] -1 kannst Du einfach den normalen Betrag verwenden. Man erhält dort: |x-y| > | (1/2)x - 1,5 - (1/2)y +1,5 |
[mm] \gdw [/mm] |x-y| > (1/2) |x-y| [mm] \gdw [/mm] (1/2) |x-y| > 0 und das ist für Beträge [mm] (x\not= [/mm] y) immer erfüllt.
Beim Fall x [mm] \ge [/mm] -1 , y<-1 erhält man: (1/2) x + 3/2 > - 1/y. Das stimmt immer, weil 1/2x [mm] \ge [/mm] -0,5 und y < -1.
Bei dem von Dir im Detail vorgetragenen Fall erhälst Du (1/y) < (1/x). Du kannst aber, wie schon im vorigen Post erläutert, ohne Einschränkung annehmen, dass x>y. Dann ist die Ungleichung auch immer erfüllt.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Do 26.05.2011 | | Autor: | void. |
Hallo,
zum einen verstehe ich nicht was der unterschied zu dem Fixpunktsatz von Banach ist ??! weil die Bedingungen für mich absolut identisch aussehen und wenn man jetzt eine Funktion ohne FP findet, würde man damit doch zeigen, dass der Satz falsch ist .....deswegen bin ich mir sicher was übersehen zu haben :p
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Fr 27.05.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> zum einen verstehe ich nicht was der unterschied zu dem
> Fixpunktsatz von Banach ist ??! weil die Bedingungen für
> mich absolut identisch aussehen und wenn man jetzt eine
> Funktion ohne FP findet, würde man damit doch zeigen, dass
> der Satz falsch ist .....deswegen bin ich mir sicher was
> übersehen zu haben :p
Beim FP-Satz gilt d(f(x), f(y)) < Ld(x,y) mit L < 1 für alle x und y. So ein L gibt es hier nicht, weil hier lim sup (d(f(x), f(y))/d(x,y)) = 1.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 So 29.05.2011 | | Autor: | void. |
danke :]
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