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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Sacha |
| Aufgabe | Sei [mm] K\subset\IR^{n} [/mm] eine kompakte Teilmenge von [mm] \IR^{n} [/mm] und f: [mm] K\oK [/mm] eine Abbildung mit der Eigenschaft
|f(x)-f(y)|<|x-y| für alle x , y [mm] \inK [/mm] mit x [mm] \not= [/mm] y
Zeige: f hat genau einen Fixpunkt.
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Wir haben eine Funktion als Hinweis bekommen, nähmlich
[mm] F:K\to\IR, [/mm] F(x):=|x-f(x)|
Meine Idee ist nun, zu zeigen, dass diese Funktion F(x) ein Minimum annimmt um dann mit einem Widerspruch zusätzlich zu zeigen, das es gerade 0 ist. Doch wie bringe ich das mathematisch aufs Blatt :S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Fr 08.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Sei [mm]K\subset\IR^{n}[/mm] eine kompakte Teilmenge von [mm]\IR^{n}[/mm] und
> f: [mm]K\oK[/mm] eine Abbildung mit der Eigenschaft
Das heißt wohl [m]f:K\to K[/m] oder?
> Wir haben eine Funktion als Hinweis bekommen, nähmlich
> [mm]F:K\to\IR,[/mm] F(x):=|x-f(x)|
> Meine Idee ist nun, zu zeigen, dass diese Funktion F(x)
> ein Minimum annimmt um dann mit einem Widerspruch
> zusätzlich zu zeigen, das es gerade 0 ist. Doch wie bringe
> ich das mathematisch aufs Blatt :S
Wieso nimmt es ein Minimum m an? Gibt es denn dann ein y mit [m]m=|y-f(y)|[/m]? Wenn ja - setze doch die Vorraussetzung noch einmal an.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Fr 08.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]K\subset\IR^{n}[/mm] eine kompakte Teilmenge von [mm]\IR^{n}[/mm] und
> f: [mm]K\oK[/mm] eine Abbildung mit der Eigenschaft
> |f(x)-f(y)|<|x-y| für alle x , y [mm]\inK[/mm] mit x [mm]\not=[/mm] y
> Zeige: f hat genau einen Fixpunkt.
>
> Wir haben eine Funktion als Hinweis bekommen, nähmlich
> [mm]F:K\to\IR,[/mm] F(x):=|x-f(x)|
> Meine Idee ist nun, zu zeigen, dass diese Funktion F(x)
> ein Minimum annimmt
Das ist nicht schwer: K ist Kompakt und F ist stetig
FRED
> um dann mit einem Widerspruch
> zusätzlich zu zeigen, das es gerade 0 ist. Doch wie bringe
> ich das mathematisch aufs Blatt :S
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Sacha |
Ja nicht schwer wie denn? ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Fr 08.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja nicht schwer wie denn? ^^
Das Resultat solltest du schon in der Analysis I oder II gehabt haben (in der I vermutlich fuer [mm] $\IR$ [/mm] anstelle [mm] $\IR^n$). [/mm] Guck da mal nach.
LG Felix
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