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Hallo da.
Ich hab eine Aufgabe eine Funktion (nennen wir diese f(x)) erstens als Schaubild darzustellen, dann zu zeigen, dass es genau 2 Fixpunkte gibt und letztens - die Fixpunktiteration mit Startwert [mm] x^{(0)} [/mm] aus irgendwelcher Intervall (nicht wichtig für meine Frage) durchzuführen und zeigen, dass f(x) gegen das 1.Fixpunkt konvergiert.
Soo...Ich bin wieder fast ohne Ahnung worum es hier geht :) Die Definitionen hab ich geguckt aber dies hat mir nicht sehr viel geholfen.
Ich habe ein Beispiel im Internet gefunden.
http://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a1/0607/vorl13_ana.pdf
Wir "zerlegen" unsere f(x) = [mm] \underbrace{2x}_{=F_{1}(x)} [/mm] − [mm] \underbrace{tan(x)}_{=F_{1}(x)}
[/mm]
Hier glaube ich ist diese [mm] F_{2}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}tan(x) [/mm] von [mm] DF_{2}(x) [/mm] (D = Ableitung)gekommen. Das selbe ist vielleicht auch für das arctan. Oder?
Die Darstellung interessiert mich zuerst...Also wenn wir eine f(x) haben die gelich irgendetwas ist und dieses Irgenendwas besteht aus n-mal "Unterfunktionen" (so ein Begriff gibt's ja vielleicht nicht, aber ich glaube sie verstehen was ich meine ;)), müssen wir auf dem Koordinatensystem die Darstellung aller diesen "Unterfunktionen" (hier y=2x und y'=tanx) machen. Hab ich Recht? Weil das ist das einzige das mir eingefallen ist bei der Betrachtung von diese Funktion und ihrer Darstellung. Die Punkte (das Punkt) wo sich diese "Unterfunktionen" kreuzen, sind die so genannte Fixpunkte.
Meine zweite Frage ist: wie zeigt man das die Fixpunktiteration gegen einem Startwert [mm] x^{(0)} [/mm] konvergiert? In dem obigen Beispiel ist es nicht sehr ausfürlich erklärt und ich verstehe es nicht...
Vielen Dank im Voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. es ist der Punkt, nicht das Punkt.
2. hier im forum duzen sich alle.
3. du solltest lieber die wirkliche Aufgabe posten, denn mit dem skript hast du was falsches verstanden. Da wird die Fixpunktiteration dazu benutzt eine Nullstelle einer fkt zu finden.
zum Fixxpunkt selbst:
Nimm die einfache fkt [mm] f(x)=x^2 [/mm] im Intervall (-1,2)
Fixpunkt ist x=0 und x=1, denn [mm] 0^2=0 [/mm] und [mm] 1^2=1
[/mm]
wenn du irgendeinen Wert <1 iterierst, kommst du immer näher an Null, dagegen wenn du irgendeinen wert in der Nähe von 1 iterierst (also immer wieder einsetzt) kommst du immer weiter von 1 weg. also ist x=0 ein attraktiver Fixpunkt für x<1, x=1 nicht.
iterieren heisst hier: Startwert z. bsp. 1/2 :f(1/2)=1/4 f(1/4)=1/16 f(1/16)=1/256 usw. das waren 3 Iterationsschritte!
Gruss leduart
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Sorry :) Na, die Aufgabe werde ich nicht posten, dass es eine Hausaufgabe ist :) Ich möchte es allein machen. Was mich interessiert, ist wie das alles funktioniert...
Also wir haben unsere Funktion und keine Intervallen usw...Nur eine einfache (nicht ganz :)) f(x) = Q - R, wo Q irgendwelches komplizierte Ding ist (exponentielles Ding bei mir) und R - eine lineare Fkt (wie z.B: f(x) = x, so was)...Was soll ich jetzt skizzieren f(x) insgesamt (z.B. mit einer kleinen Tabelle [mm] \vmat{x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ f(x) & a & b & c & d & e}) [/mm] [FALL 1], oder Q und R separat zu betrachten und die beide separat darzustellen [FALL 2], d.h:
FALL 1: Im Koordinatensystem hab ich nur eine Funktionsdarstellung von meine f(x)
[Dateianhang nicht öffentlich]
FALL 2: Im Koordinatensystem hab ich 2 Funktionsdarstellungen - von Q und R, die sich irgendwo kreuzen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
?
EDIT: So, ich glaube das mit der Darstellung hab ich's verstanden. Wir skizzieren f(x) (FALL 1, da gibt's kein FALL 2 :P). Diese lineare Funktion, die sich auch (![[]](/images/popup.gif) Wiki) mit dem Fkt kreuzt ist das Ergebniss von der Iteration, oder? Ich glaube ja :) Da ich zeigen muss, dass die 1.Fixpunkt sich im Intervall von (1,0) befindet, und die 2.Fixpunkt ist >1.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier kann man bei der Iteration (muss mal noch ein bißchen nachdenken was das ist :)) wahrscheinlich (hoffe ich) genau 2 Fixpunkte finden, die die obigen Bedingungen erfüllen :)
Danke :)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Alex,
ich glaube, ich weiss, um was es bei deiner Aufgabe geht.
Du hast eine Funktion f(x), welche zwei Fixpunkte [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2
[/mm]
hat, das heisst für diese beiden x-Werte gilt:
[mm] f(x_1) [/mm] = [mm] x_1\quad \quad f(x_2)=x_2
[/mm]
Für alle anderen x ist jeweils [mm] f(x)\not= [/mm] x .
Die Zahlen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind die x-Werte der beiden
Schnittpunkte [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2, [/mm] in welchen der Graph von
y=f(x) die Gerade y=x kreuzt.
Nun gibt es die Möglichkeit einen solchen Fixpunkt
herauszufinden, indem man mit einem geeigneten Startwert x
beginnt und dann nach der Reihe f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),... etc
ausrechnet. Unter gewissen Voraussetzungen streben diese
Zahlenwerte gegen die gesuchte x-Koordinate des Schnittpunktes.
Die wichtigste Voraussetzung, dass dies so funktioniert, ist,
dass der Graph der Funktion f in dem gesuchten Schnittpunkt S
eine Steigung m mit Betrag <1 hat, also muss [mm] |f'(x_S)| [/mm] <1 sein.
In deiner Zeichnung von y=f(x) und y=x kannst du wenigstens
ungefähr ablesen, in welcher Gegend die beiden Schnittpunkte
liegen. Jetzt musst du dich um die Werte von |f'(x)| in der
Umgebung dieser Schnittpunkte kümmern.
Ich vermute, dass es leicht sein wird zu zeigen, dass die Steigung
der Funktion bei dem einen Schnittpunkt klein genug sein wird,
also z.B. [mm] |f'(x_1)| [/mm] < 1 und bei dem anderen zu gross, also [mm] |f'(x_2)|>1.
[/mm]
Das musst du versuchen herauszufinden und zu begründen.
LG Al-Chwarizmi
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Vielen Dank...Aber...
Welche Zeichnung meinst du? Die erste oder die zweite...In der Zweite hab ich diese gerade nicht so bekommen, wie du's denkst...Ich habe meine Fkt. f(x) = Q - R (Q und R sind irgendwelche Dinge z.B. Q = [mm] x^{2} [/mm] + x und R = 2x - 1/4)...Also ich werde jetzt kurz zusammen fassen:
Ich habe meine Fkt. f(x). Ich muss ziegen, dass diese Funktion genau 2 Fixpunkte hat. [mm] x_{1}\in(0,1) [/mm] und [mm] x_{2}>1. [/mm] Das muss ich zeigen. f(x) sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich werde [mm] x_{1}\in(0,1) [/mm] und [mm] x_{2}>1 [/mm] benutzen um zu zeigen, dass genau die meine Fixpunkte sind und dass es keine andere mehr gibt.
Du hast gesagt, dass die Fixpunkte der Form [mm] x_{1} [/mm] = [mm] f(x_{1}) [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] sind, dass heißt, wenn ich für meinen ersten Punkt [mm] x_{1}\in(0,1) [/mm] als Wert z.B. 0.3 nehme, muss meine f(0.3) = 0.3 sein oder? Na ja, das passiert nicht :( Egal mit welche Wert ich mein [mm] x_{1} [/mm] ersetze (natürlich zwischen >0 und <1), bekomme ich etwas ähnliches, aber nicht das selbe.
Hmm...Und das mit dem Schnittpunkt S und Steigung m...Das kappiere ich nicht. Sorry :(
Vielen Dank,
Alex
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Das mit der Iteration ist ja jetzt klar und leicht :) Danke sehr Leute :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fixpunkt heisst, der Punkt ist fest, d.h. wenn man f drauf anwendet bleibt es dasselbe, also f(x)=x.
mit einem Beispiel: [mm] f(x)=x^2-x [/mm] untersuchen gibts Fixpunkte?
[mm] x^2-x=x [/mm]
1. x=0
2.x=2
überprüfen [mm] :f(0)=0^2-0=0 [/mm] richtig, [mm] f(2)=2^2-2=2 [/mm] richtig. also hab ich die 2 Fixpunkte x=0 und x=2
Wenn die Gleichung f(x)=x nicht so leicht zu lösen ist, mach ich ne Zeichnung:
1. [mm] y_1=f(x) [/mm] und zusätzlich die Gerade [mm] y_2=x
[/mm]
wo die 2 Graphen sich schneiden gilt offensichtlich [mm] y_1=y_2 [/mm] also f(x)=x
wenn sich also [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] genau in 2 Punkten schneiden gibts 2 Fixpunkte, wenn sie sich in 3 pkt. schneiden 3 usw.
(die Gerade y=x hat dabei nichts mit einem linearen Term in deinem f(x) zu tun!)
jetzt hast du die 2 Schnittpunkte in der Zeichnung, und kannst auch gleich die steigung da sehen. der fixpkt, bei dem die steigung <1 ist ist der attraktive, also der "anziehende" den man durch Iteration erreichen kann, wenn man nen Punkt in der Nähe nimmt, so dass die |Steigung| <1 ist.
in meinem Beispiel: [mm] f(x)=x^2-x [/mm] f'(x)=2x-1 f'(0)=-1 f'(2)=3 also beide nicht attraktiv
dagegen [mm] f(x)=x^2+1/2*x [/mm] Fixpunkte x=0, x=1/2 f'(0)=1/2 f'(1/2)=3/4 beide attraktiv.
aber vielleicht sollst du das mit der Steigung erst rauskriegen, sozusagen experimentell?
Gruss leduart
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So alles hab ich verstanden (danke sehr, sehr viel :)), nur diese Linie nicht. Du sagst das diese Linie y=x gar nix mit der x in der Fkt zu tun hat...Aber wie findet man diese?
z.B. Um die Funktion darzustellen benutze ich die lange aber sichere Weg der Tabellen :)
[mm] \vmat{x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 ...\\f(x) & a & b & c & d & e & f & g ...} [/mm] , wo a,b,c,... irgendwelche Ergebniss sind, die wir bekommen haben, wenn wir das x (0,1,2,3,...) in der Fkt f(x) eingesetzt haben. So bekommen wir unserer Graph - ein Graph, der unsere Funktion darstellt (bei mir diese Kurve, die ich vorher gepostet habe).
Jetzt kommt wieder die Frage: wir haben diese Linie y=x....Aber dieses X ist verschieden von dem X in f(x)...Was für Werte bekommt er im Laufe der Zeit. Bei der Fkt. ist es klar. Um diese darzustellen können wir eine solche Tabelle benutzen und für jedes X ein beliebiger Wert (meistens in eine genaue Reihenfolge 0,1,2,3,4...) eisetzen. So bekommen wir eigentlich die Fkt.graph...
Hmm...Jetzt lese ich deinen Post wieder...Soll ich für dieses x in y=x auch diese Werte nehmen, d.h. ich kriege das folgende Tabelle:
[mm] \vmat{x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 ...\\f(x) & a & b & c & d & e & f & g ...\\y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 ...}
[/mm]
Also wenn x das Wert z.B. 4 kriegt, für f(x) kriege ich e und endlich für y kriege ich 4, da y=x=4 ist. Hab ich das endlich verstanden? :( Die anderen Sachen sind ja jetzt so zu sagen klar...Nur das bleibt.
Danke im Voraus,
Alex
EDIT: Super! Hat's geklappt. Es ist genau wie ich es oben "erklärt" habe. Danke für ihr Hilfe!!!
Ergebnisse: Ich hab's auch mit einem Funktion-Plotting-Applet Überprüft. Meine Ergebnisse sind ungefähr:
x1 [mm] \approx [/mm] 0.445076059 (x=f(x))
x2 [mm] \approx [/mm] 3.141869098 (x=f(x))
:):):) Ich bin sehr zufrieden. Ich hab's auch die Iteration gemacht, mit dem Beweis bin ich ja schon fast fertig. Danke :P
PS: Morgen werde ich die Funktion hier posten :) Nachdem ich meine Hausaufgabe abgegeben habe ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Fr 13.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es scheint, du hast alles richtig gemacht, nur etwas zu umständlich. Du weisst doch , dass y=x eine gerade ist. Dann brauchst du doch höchstens 2 Punkte, um sie zu zeichnen!
Dass y=x die Winkelhalbierende zwischen x und y-Achse ist, sollte man eigentlich auch wissen.
Allgemein, die Gerade y=mx+b geht durch den Punkt (0,b) und hat die steigung m, d.h. wenn man 1 nach rechts geht, geht sie m nach oben! (wenn m negativ ist natürlich nach unten.)
Ich find gut, dass du deine Aufgaben selbständig lösen willst. aber wir posten sowieso keine Lösungen, sondern nur Hilfen.
(übrigens, um Funktionen zu plotten solltest du eines der Programme: Geogebra, oder funkyplot benutzen, die gibts umsonst im Netz, und auch wenn man sie selbst erst skizziert ist das ne gute Kontrolle.
Gruss leduart
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Hallo :) Ja, also ich hab Scilab und kann auch Matlab haben...Das Online-Plotting benutze ich nur wenn ich keine Zeite habe um komplizierte Dinge zu machne (das hier ist nicht so kompliziert, aber da braucht man bestimmt ein bißchen Zeit).
Ja, die Gerade besteht mindestens aus zwei verschieden Punkten...So hab ich es auch gemacht. Wenn y=x ist und verschiedene Werte von x setzt, so bekommt man eine Gerade, die mit Winkle [mm] 45^{o} [/mm] zur x- und y-Achse ist. :)
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