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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Do 13.04.2006 | | Autor: | babel |
| Aufgabe | Definiere T: C([0,1]) -> C[0,1], wobei
Tf(x) = 1/2 [mm] \integral_{0}^{1}{sin(x+t) f(t) dt}.
[/mm]
Zeige, dass T kontrahierend ist. |
Hallo zusammen,
weiss jemand, wie ich diese Aufgabe angehen kann? Ich weiss, dass eine kontrahierende Abbildung eines vollständigen metrischen Raumes in sich genau einen Fixpunkt besitzt. Wie kann ich nun mit diesem Wissen, diese Aufgabe lösen?
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt
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Hallo babel,
wenn ihr nicht auch zeigen müsst, dass $T(f)$ tatsächlich eine stetige funktion ist, dann ist die aufgabe relativ leicht. Du musst zeigen, dass es eine kontraktionskonstante $c<1$ gibt, so dass
[mm] |T(f_1)-T(f_2)|<=c|f_1-f_2|
[/mm]
für alle [mm] $f_1,f_2\in [/mm] C([0,1])$ gilt. Schreibe Dir den linken Term einfach mal hin und überlege, wie man das integral evtl. abschätzen könnte. Dann bist du eigentlich schon fast fertig!
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Fr 14.04.2006 | | Autor: | babel |
danke für den Hinweis, hilft mir weiter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:42 So 16.04.2006 | | Autor: | babel |
Es geht irgendwie doch nicht. Wie kann ich dieses Integral ausrechnen? Wie muss ich das abschätzen. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 So 16.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo babel
Hast du mal T(f(x1)-f(x2)) hingeschrieben? sin/x1-t) Additionstheorem anwenden sinx1 -sinx2 und entspr cos vor das Integral: Integral< max des Integranden*Länge des Intervalls und Dreiecksungl sollten zum Ziel führen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 18.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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