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Ich habe bislang noch keine Vorstellung, wie man den nichtlinearen Teil des Bratu Problems durch Finite Differenzen diskretisieren kann.
Das Bratu Problem ist ein aus der Chemie bekanntes Problem, in dem es um die Verbrennung von Stäben geht und beschrieben werden kann durch eine Differentialgleichung folgenden Typs:
Au = [mm] \lambda [/mm] exp(u) mit = 0 (Randbedingung)
Hier soll [mm] \lambda [/mm] = 1 sein. Für [mm] \Lambda [/mm] = 0 erhalten wir die Poisson Gleichung als Spezialfall.
Den linken Teil kann man per Finite Differenzen approximieren, d.h. man versucht die zweiten partiellen Ableitungen durch Differenzenquotienten auszudrücken. Man erhält dann schließlich eine Blocktridiagonalmatrix, wo gezeigt werden kann, dass diese symmetrisch, positiv definit ist.
Der nichtlineare Teil des Bratu Problems also exp(u) soll auch per Differenzenmethode approximiert werden.
Meine Idee ist, den im linken Schritt erhaltenen Fünf-Punkt-Operator (Differenzenstern) mit zentralem Eintrag 4 und benachbarten Einträgen -1 auch für den rechte Seite zu benutzen:
Es gilt dann:
[mm] e^{u_{i,j}} \approx e^{(1/4)*(u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{j+1,j} + u_{j-1,j})}
[/mm]
Dann erhält man doch eine Matrix der Gestalt:
[mm] e^{u_{i,j}} \approx \pmat{ e^(u_{1,1}) & e^(u_{1,2}) &...&e^(u_{1,n-1})\\ e^(u_{2,1}) & e^(u_{2,2}) &...&e^(u_{2,n-1})\\ etc. & etc. & etc. & etc. }
[/mm]
Ist die Idee richtig ?
Und das erhaltene nichtlineare Gleichungssystem kann man dann mit Newtonverfahren lösen.
Aber wie sieht dann die Funktion F denn genau aus ?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 23.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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