Finden einer geschl. Formel < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Mi 19.01.2005 | | Autor: | spocky |
Hallo zusammen...
Habe wieder eine aufgabe, die ich irgedwie nicht lösen kann.
Ich soll eine geschlossene Formel finden, also mit algebraischen Mitteln (Matrizen usw) für folgende Folge:
[mm] y_{0}:=y_{1}:= [/mm] 1
[mm] y_{n+1}:= 2y_{n} [/mm] + [mm] y_{n-1}
[/mm]
Wie muss ich da ran gehen?
Kann mir jemand bei der Lösung helfen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber spocky
> Hallo zusammen...
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> Habe wieder eine aufgabe, die ich irgedwie nicht lösen
> kann.
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> Ich soll eine geschlossene Formel finden, also mit
> algebraischen Mitteln (Matrizen usw) für folgende Folge:
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> [mm]y_{0}:=y_{1}:=[/mm] 1
> [mm]y_{n+1}:= 2y_{n}[/mm] + [mm]y_{n-1}
[/mm]
>
Betrachte die Vektoren [mm] $\vektor{y_{n-1}\\y_n}$ [/mm] und $ [mm] \vektor{y_n\\y_{n+1}}$
[/mm]
Jetzt versuchst du, eine Lineare Abbildung zu finden, die den ersten in den zweiten Vektor überführt.
Gemäss deiner Vorgabe muss ja aus [mm] $\vektor{a\\b}$ [/mm] der Vektor $ [mm] \vektor{b\\a+2b}$ [/mm] entstehen.
Finde also die Abbildungsmatrix $A_$, wende diese auf den Anfangsvektor [mm] $\vektor{1\\1}$ [/mm] n mal an, und du bist deiner Lösung schon recht nahe.
Das Problem ist dann aber, [mm] $A^n$ [/mm] zu berechnen. Du weisst aber, dass für Diagonalmatrizen $D_$ das [mm] $D^n$ [/mm] recht einfach zu berechnen ist. 
Wenn du bereits mit dem Auffinden der Abbildungsmatrix Probleme hast, können wir das gemeinsam, Schritt für Schritt, schon durcharbeiten. Du musst dich halt einfach wieder melden. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:31 Sa 22.01.2005 | | Autor: | spocky |
Also wenn ich das richtig sehe, müsste die Abbildung dann ja zB so aussehen
f: (a,b) -> (b, a+2b) oder?
Wenn ich darauf jetzt [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] anwende, komm ich auf [mm] \vektor{1 \\ 3} [/mm] ...
Und wie hilft mir das weiter?
Bin etwas verwirrt...
PS: Sorry dass ich erst jetzt wieder schreibe...
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