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Forum "Integrationstheorie" - Finde die Stammfunktion...
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Finde die Stammfunktion...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Mo 21.01.2013
Autor: Paivren

N'abend zusammen.

Bräuchte mal bei einer Integration Hilfe, hfftl. hat jemand Zeit, sich das mal anzuschauen^^
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^{4}-81} dx} [/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x+3)(x-3)(x^{2}+9)} dx} [/mm]

Partialbruchzerlegung:
[mm] =\bruch{A}{x+3} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-3} [/mm] + [mm] \bruch{Cx+D}{x^{2}+9} [/mm]
Den Ansatz für komplexe Nullstellen des Nenners, also [mm] \bruch{Cx+D}{x^{2}+9}, [/mm] habe ich aus dem Netz.

Nun bringe ich alle auf den Hauptnenner und führe den Koeffzientenvergleich durch.
[mm] \Rightarrow [/mm] 4 Gleichungen:
A+B+C=0 (1)
-3A+3B+D=0 (2)
9A+9B-9C=0 (3)
-27A+27B-9D=1 (4)

In Matrixform gelöst:
[mm] A=-\bruch{1}{108} [/mm]
[mm] B=\bruch{1}{108} [/mm]
C=0
[mm] D=-\bruch{1}{18} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] Integral mithilfe der Partialbrüche aufteilen:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x+3)(x-3)(x^{2}+9)} dx} [/mm]
[mm] =-\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{108x+324} dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{108x-324} dx} -\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{18x^{2}+162} dx} [/mm]

Die ersten beiden Integrale sind ja relativ leicht mit dem nat. Logarithmus zu berechnen. Aber was mach ich mit dem letzten Term? Substituieren?

Gruß

        
Bezug
Finde die Stammfunktion...: Sprache
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:11 Mo 21.01.2013
Autor: Marcel

Hallo,

nur mal gerade ein Kommentar: Stammfunktionen sind i.a. NICHT eindeutig
(nur eindeutig bis auf eine additive Konstante(=konstante Funktion)), daher
solltest Du schreiben: "Finde EINE Stammfunktion..."

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Finde die Stammfunktion...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 Mo 21.01.2013
Autor: Paivren

Das stimmt wohl. War nur zu sehr darauf fixiert, den Teil zu finden, der bei allen Stammfunktionen gleich ist^^

Bezug
        
Bezug
Finde die Stammfunktion...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Mo 21.01.2013
Autor: Helbig


> N'abend zusammen.
>  
> Bräuchte mal bei einer Integration Hilfe, hfftl. hat
> jemand Zeit, sich das mal anzuschauen^^
>  [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^{4}-81} dx}[/mm]
>  =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x+3)(x-3)(x^{2}+9)} dx}[/mm]
>  
> Partialbruchzerlegung:
>  [mm]=\bruch{A}{x+3}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x-3}[/mm] + [mm]\bruch{Cx+D}{x^{2}+9}[/mm]
>  Den Ansatz für komplexe Nullstellen des Nenners, also
> [mm]\bruch{Cx+D}{x^{2}+9},[/mm] habe ich aus dem Netz.
>  
> Nun bringe ich alle auf den Hauptnenner und führe den
> Koeffzientenvergleich durch.
>  [mm]\Rightarrow[/mm] 4 Gleichungen:
>  A+B+C=0 (1)
>  -3A+3B+D=0 (2)
>  9A+9B-9C=0 (3)
>  -27A+27B-9D=1 (4)
>  
> In Matrixform gelöst:
>  [mm]A=-\bruch{1}{108}[/mm]
>  [mm]B=\bruch{1}{108}[/mm]
>  C=0
>  [mm]D=-\bruch{1}{18}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] Integral mithilfe der Partialbrüche
> aufteilen:
>  [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x+3)(x-3)(x^{2}+9)} dx}[/mm]
>  
> [mm]=-\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{108x+324} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{108x-324} dx} -\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{18x^{2}+162} dx}[/mm]
>  
> Die ersten beiden Integrale sind ja relativ leicht mit dem
> nat. Logarithmus zu berechnen. Aber was mach ich mit dem
> letzten Term? Substituieren?

Ja. Mit [mm] $t=\frac [/mm] 1 3 [mm] x\,.$ [/mm]

EDIT: Verbessert.

Gruß,
Wolfgang

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Finde die Stammfunktion...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:25 Mo 21.01.2013
Autor: Paivren

Hey Helbig,

kurz aber deftig, es funktioniert!

Vielen Dank!!

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