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| Aufgabe | Jemand zahlt 10 Jahre lang, am Ende jedes Jahres, einen Betrag von 1.000 EURO bei einer Rentenanstalt ein. Für wie viele Jahre bekommt der Sparer eine Rente von 2.000 EURO wenn die erste Auszahlung 5 Jahre nach der letzten Einzahlung erfolgt.
Zinssatz P=3%
Zinsfaktor q=1,03 |
Hallo erstmals.
Ich habe als erstes Folgeglied 1.000 * [mm] 1,03^{5} [/mm] genommen.
Die Summenformel lautet bei uns:
Sn = a1 * [mm] ((q^{n} [/mm] - 1 ) / (q - 1)
(Sn =Summenformel;
a1 = 1. Folgeglied;
q= Zinsfaktor;
n = Anzahl der Raten)
Wir haben in der Schule als Vergleichspunkt das 14. Jahr hergenommen, und so alles auf - bzw. abgezinst.
Beim Abzinsen war auf einmal :
Sn = a1 * [mm] ((q^{n+1} [/mm] - 1 ) / (q - 1)
Und meine Frage. Wiso auf einmal n+1 ?
Danke schon mal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Mi 28.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
da war doch was... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Das Forum ist auch nicht ganz richtig - passen würde hier das Forum Oberstufenmathe.
> Jemand zahlt 10 Jahre lang, am Ende jedes Jahres, einen
> Betrag von 1.000 EURO bei einer Rentenanstalt ein. Für wie
> viele Jahre bekommt der Sparer eine Rente von 2.000 EURO
> wenn die erste Auszahlung 5 Jahre nach der letzten
> Einzahlung erfolgt.
> Zinssatz P=3%
> Zinsfaktor q=1,03
> Hallo erstmals.
> Ich habe als erstes Folgeglied 1.000 * [mm]1,03^{5}[/mm] genommen.
> Die Summenformel lautet bei uns:
>
> Sn = a1 * [mm]((q^{n}[/mm] - 1 ) / (q - 1)
> (Sn =Summenformel;
> a1 = 1. Folgeglied;
> q= Zinsfaktor;
> n = Anzahl der Raten)
>
> Wir haben in der Schule als Vergleichspunkt das 14. Jahr
> hergenommen, und so alles auf - bzw. abgezinst.
>
> Beim Abzinsen war auf einmal :
> Sn = a1 * [mm]((q^{n+1}[/mm] - 1 ) / (q - 1)
>
> Und meine Frage. Wiso auf einmal n+1 ?
Poste bitte mal die gesamte Gleichung in der das auf einmal auftaucht. Ich kann mir zwar vorstellen, was dich evtl. irritiert, aber ich will das jetzt nicht vorrechnen.
> Danke schon mal im Vorraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
barsch
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Hallo.
zuerst berechne ich die Summenformel S10 = 1000 * [mm] 1,03^{5} [/mm] * [mm] ((1,03^{10} [/mm] -1) / (1,03 - 1) = 13.289,639 EURO.
dann haben wir die ganzen Raten auf das 14. Jahr abgezinzt. Das wäre dann:
2.000 + (2.000 / [mm] 1,03^{1} [/mm] ) + (2.000 / [mm] 1,03^{2} [/mm] ) + (2.000 / [mm] 1,03^{3}) [/mm] + ... + (2.000 / [mm] 1,03^{n}
[/mm]
Weiters haben wir (2.000 / [mm] 1,03^{n}) [/mm] als 1. Folgenglied bestimmt.
In der Summenformel eingesetzt, schaut dann so aus:
Sn= [mm] 2.000/1,03^{n} [/mm] * [mm] ((1,03^{n+1} [/mm] -1) / (1,03 -1) = 13.289,639 EURO.
dann auf n umgeformt und mit dem Logarithmus n herausgebracht.
Meine Frage, wieso n+1 ?
Danke schon mal im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Mi 28.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
jetzt wird deutlich, was du meinst.
> Hallo.
> zuerst berechne ich die Summenformel S10 = 1000 * [mm]1,03^{5}[/mm]
> * [mm]((1,03^{10}[/mm] -1) / (1,03 - 1) = 13.289,639 EURO.
> dann haben wir die ganzen Raten auf das 14. Jahr
> abgezinzt. Das wäre dann:
> 2.000 + (2.000 / [mm]1,03^{1}[/mm] ) + (2.000 / [mm]1,03^{2}[/mm] ) + (2.000 / [mm]1,03^{3})[/mm] + ... + (2.000 / [mm]1,03^{n}[/mm]
Ich weiß jetzt gar nicht, was ich alles voraussetzen darf. Ich z.B. habe das in der Schule überhaupt nicht gemacht. Dumme Frage, aber hattet ihr schon Summen(zeichen) und geometrische Reihe? Oder gehst du zur Uni? - das wird aus deinem Profil leider nicht ersichtlich!
Erst einmal zinst man die Raten ab:
[mm]2000+2000*\bruch{1}{1,03^1}+2000*\bruch{1}{1,03^2}+...+2000*\bruch{1}{1,03^n}[/mm]
Das hast du auch so.
> Weiters haben wir (2.000 / [mm]1,03^{n})[/mm] als 1. Folgenglied
> bestimmt.
Whatever... wie habt ihr das bestimmt?
Wir machen das jetzt mal "wie üblich":
[mm]2000+2000*\bruch{1}{1,03^1}+2000*\bruch{1}{1,03^2}+...+2000*\bruch{1}{1,03^n}=2000*\bruch{(\bruch{1}{1,03})^{n+1}-1}{\bruch{1}{1,03}-1}[/mm] (![[]](/images/popup.gif) geometrische Reihe)
Das ist quasi schon die Lösung, denn
[mm]2000*\bruch{(\bruch{1}{1,03})^{n+1}-1}{\bruch{1}{1,03}-1}=2000*\bruch{(1,03)^{n+1}}{(1,03)^{n+1}}\cdot{}\bruch{(\bruch{1}{1,03})^{n+1}-1}{\bruch{1}{1,03}-1}=2000*\bruch{1-(1,03)^{n+1}}{(1,03)^n-(1,03)^{n+1}}=2000*\bruch{1-(1,03)^{n+1}}{(1,03)^n*(1-(1,03))}=2000*\bruch{(1,03)^{n+1}-1}{(1,03)^n*(1,03-1)}=\bruch{2000}{(1,03)^n}*\bruch{(1,03)^{n+1}-1}{(1,03-1)}[/mm]
Stellt dich das zufrieden? ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> In der Summenformel eingesetzt, schaut dann so aus:
> Sn= [mm]2.000/1,03^{n}[/mm] * [mm]((1,03^{n+1}[/mm] -1) / (1,03 -1) =
> 13.289,639 EURO.
>
> dann auf n umgeformt und mit dem Logarithmus n
> herausgebracht.
>
> Meine Frage, wieso n+1 ?
siehe oben.
>
> Danke schon mal im Vorraus
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
barsch
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