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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie leitet man die (auch von "Josef" in matheforum 2010 aufgestellte) Formel her:
s n dyn = r x (q exp n- g exp n):( q - g),
mit q= 1+ i, i : Zinssatz p.a. nachschüssig,
g = 1 +m, m :prozentualer Rentenfaktor p.a.
Anmerkung:
ist die resultierende Gesamterhöhung der Rente p.a. nicht q x g, so dass sich ergeben müsste:
s n= r x ( q exp n x g exp n):(q x g - 1) durch Differenzbildung der Summen mit und ohne Multiplikation mit qg ?
Vielen Dank Im Voraus für gelegentliche Antwort.
Mathekibiz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
die Formel kann wie folgt hergeleitet werden:
die Rente r steigt jedes Jahr um g, d.h. nach einem Jahr um g, nach 2 Jahren um $ [mm] g^2 [/mm] $ usw, so daß sich als Endwert (EW) dieser Rente ergibt:
$ EW = r [mm] \times q^{n-1} [/mm] + r [mm] \times q^{n-2} \times [/mm] g + r [mm] \times q^{n-3} \times g^2 [/mm] + ... + r [mm] \times q^0 \times g^{n-1} [/mm] $
auf der rechten Seite ausgeklammert
$ EW = r [mm] \times q^{n-1} \times \left( 1 + \bruch{g}{q} + \bruch{g^2}{q^2} + \bruch{g^3}{q^3} + .. + \bruch{g^{n-1}}{q^{n-1}} \right) [/mm] $
der Klammerausdruck ist eine geometrische Reihe, so daß gilt
$ EW = r [mm] \times q^{n-1} \times \left( \bruch {\left(\bruch{g}{q}\right)^n - 1}{\bruch{g}{q} - 1 } \right) [/mm] $
und umgeformt
$ EW = r [mm] \times q^{n-1} \times \bruch {g^n - q^n}{q^n \times \left(\bruch{g}{q}-1 \right) }= [/mm] r [mm] \times \left( \bruch{g^n - q^n}{g - q} \right)$
[/mm]
Wird Zähler und Nenner des Bruchs mit (-1) multipliziert, sieht die Formel so aus, wie in der Frage genannt.
Man sieht, daß die einzelne Rentensteigerung wegen der Verzinsungsdauer der jeweiligen Rente nicht das Produkt von g x q ist.
Gruß
Staffan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Mo 21.11.2011 | | Autor: | mathekibiz |
Hallo Staffan,
vielen Dank für Ihre rasche hilfreiche Antwort. Welch herrliche einfache Endformel .
Aus der ersten Gleichung für den Endwert habe ich endlich verstanden, dass die Raten jeweils entsprechend der Anzahl der seit der ERSTEN Zahlung bis zur Zahlung der betreffenden Rate ( also nachschüssig) vergangenen Jahre mit dem Faktor g zu dynamisieren sind. Meine mentale Blockierung hatte wesentlich damit zu tun, dass ich - im Gegensatz zu Ihrem Ansatz - durch die Schule dressiert war, stets in unlogischer Weise mit der - vom Endwert nicht vom Barwert her gesehen - zeitlich letzten Rate zu beginnen.
Da die GESAMMTE Zahlenreihe Ihres Ansatzes geometrisch ist mit dem konstanten Quotienten g:q jedes Paares aufeinander folgender Glieder, kann man diese Reihe auch unmittelbar summieren durch
EW = r x (g exp (n) : q - q exp ( n-1) : ( g:q - 1) - analog wie Sie es mit dem Klammerausdruck gemacht hatten) und erhält danach durch Multiplikation mit ( - g:q) unmittelbar die gesuchte Endformel.
Nebenbei scheint mir "ästhetisch" interessant, wie sich bei Ihren Umformungen das Produkt aus einem unsymmetrischem und einem symmetrischen Faktor in eine symmetrisch strukturierte subtraktive Unsymmetrie der Terme der Endformel wandelt.
Interssant bezüglich der Struktur erscheint mir auch die sich unmittelbar aus der Formel für den Endwert EW ergebende Formel für den Barwert :
BW = r x (( g (exp ( n) - q exp (n)) : ( g - q)) x (q exp (n): g exp ( n))
Mit freundlichen Grüßen
Mathekibiz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Di 22.11.2011 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
ich komme bei der Herleitung des Barwertsauf ein anderes Ergebnis. Üblicherweise ist bei Rentenberechnungen der Barwert der abgezinste Endwert:
$ BW = [mm] \bruch{EW}{q^n}$,
[/mm]
bzw. verbal die Summe der auf den Anfangszeitpunkt abgezinsten einzelnen Rentenzahlungen, also bei der geometrisch fortschreitenden Rente
$ BW = [mm] \bruch{r}{q} [/mm] + [mm] \bruch{r \cdot g}{q^2} [/mm] + [mm] \bruch [/mm] {r [mm] \cdot g^2}{q^3} [/mm] + ... + [mm] \bruch{r \cdot g^{n-1}}{q^n} [/mm] $,
erweitert man jetzt Zähler und Nenner des ersten Summanden mit $ [mm] q^{n-1} [/mm] $, den zweiten mit $ [mm] q^{n-2}$ [/mm] usw. ergibt sich:
$ BW = [mm] \bruch{r \cdot q^{n-1}}{q^n} [/mm] + [mm] \bruch{r \cdot g \cdot q^{n-2}}{q^n} [/mm] + [mm] \bruch [/mm] {r [mm] \cdot g^2 \cdot q^{n-3}}{q^n} [/mm] + ... + [mm] \bruch{r \cdot g^{n-1}}{q^n} [/mm] $,
klammert man dann den Nenner $ [mm] q^n [/mm] $ aus, bleibt in der Klammer - wie in der Antwort gezeigt - der Endwert übrig, so daß das o.g. Ergebnis doch auch für diese Form der Rente gilt.
Gruß
Staffan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mathekibiz |
Hallo Staffan,
natürlich haben Sie recht - ich hatte einfach einen ärgerlichen Fehler bei der Barwertberechnung gemacht.
Mit freundlichen Grüßen
Mathekibiz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Fr 06.04.2012 | | Autor: | mathekibiz |
lSehr geehrter/lieber Staffan,
Sie hatten mir netterweise die Formel für "geometrisch" ansteigende Rentenzahlungen abgeleitet.Aus Ihrem Ansatz folgt, dass der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder g: q ( Dynamisierungsfaktor/Verzinsunsfaktor) von der Anzahl n der Glieder der Reihe unabhängig ist.Ich hatte - dem Inhalt nach - erwidert, man könne deshalb die Ableitung vereinfachen, indem man einfach in die aus der Schulzeit bekannte - Formel für die geometrische Reihe als konstanten Quotienten zweier aufeinander folgender Glieder g:q einsetzt. Diese Behauptung von mir ist FALSCH, wie ich erst jetzt herausfand und zu einem allgemeineren Verständnis "geometrischer" Reihen wie folgt zusammenfassen möchte:
1) Man kann jegliche Reihen mit n Gliedern jeweils durch einen anderen geschlossenen Ausdruck summieren, wenn die notwendige und hinreichende Bedingung erfüllt ist, dass der Quotient q zweier aufeinander folgender Glieder NICHT von der Anzahl n der Glieder abhängig ist.
2) In den Reihen nach 1) kann der Quotient q irgendeine Funktion sein( sofern sie eben NICHT von der Anzahl n der Glieder abhängt).
3) In dem Spezialfall der Reihen nach 1) und 2), in dem bei folgenden Gliedern die Potenz des Verzinsungsfaktors q in der gleichen Weise ABnimmt wie der Dynamiserungsfaktor g ZUnimmt, ergibt sich die von Ihnen abgeleitete Formel
EW - = r x (q exp n - g exp n) : ( q : g).
4) Lediglich in dem weiteren Spezialfall, dass das Anfangsglied a der Folge ebenfalls die Bedingung erfüllt, eine von n unabhängige Funktion zu sein, ergibt sich die allgemein aus dem Schulunterricht bekannte Summenformel
(q exp n - 1) : ( q - 1 ). Diese lässt sich also nicht aus der Summenformel nach 3) ableiten.
Ich hoffe, es nunmehr richtig darzustellen.
Ein Frohes Osterfest
Ihr Mathekibiz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
und vielen Dank für die Erläuterungen. Ich muß gestehen, daß ich so in allgemeiner Hinsicht in Bezug auf eine Unabhängigkeit von n noch nicht gedacht habe. Bei der Herleitung der Formel seinerzeit hatte ich von folgenden Überlegungen leiten lassen: Zunächst den Zahlungsstrom und dessen Summe darzustellen, d.h. die ursprünglichen Zahlungen, die Steigerungen und Verzinsungen. In der dritten Zeile meiner ersten Antwort habe ich das unter Anwendung der Summenformel für die geometrische Reihe oder auch der Rentenformel umgeformt; allerdings mit der Besonderheit, daß der Quotient (Q) nicht Q=q=1+i war, sondern Q = [mm] \bruch{g}{q} [/mm] und die Rente R bestand aus $ R=r [mm] \cdot q^{n-1} [/mm] $ . Wenn n,g und i bekannt sind, könnte man beide von mir verwendeten Ausdrücke in der Rentenformel substituieren und hätte dann die aus der Schule bekannte.
Alles weitere waren nur Umformungen.
Daß das Anfangsglied einer geometrischen Folge (hier nach Ausklammerung 1) die gleiche Bedingung erfüllen muß wie alle folgenden, ergibt sich für mich eigentlich unmittelbar aus der Definition der geometrischen Folge oder auch Reihe -, nämlich Unterscheidung eines jeden Glieds vom Nachbarglied durch den gleichen Quotienten. Von daher zweifle ich etwas, ob die unter Ziffer 3 und 4 genannten Konstellationen wirklich Spezialfälle sind, weil sie die aufgeführte Voraussetzung einer geometrischen Folge, wenn ich es richtig sehe, erfüllen.
Gruß und schöne Feiertage
Staffan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mi 18.04.2012 | | Autor: | mathekibiz |
Hallo,
vielen Dank für letzte Antwort. Mir scheint, wir haben keinen echten Dissens.
Auch - aber nicht ausschließlich - für mögliche finanzmathematische Fragestellungen versuche ich nachfolgend, die (mich faszinierende) Summenformel für geometrische Reihen - (im realen Bereich) zu verallgemeinern, nachdem bei mir seit der Schulzeit die Werte a, q und n begrifflich nur Zahlen waren:
Summe geo = Anfangsfunktion A x (Quotientenfunktion Q exp Potenzfunktion N - 1) : ( Quotientenfunktion Q - 1)
1) A : : ungleich 0; eindeutig für alle Q und N
2) Q: : ungleich 0; ungleich 1; endlich (positiv?) invariant bezüglich N
3a) N = n : alle ganzen Zahlen größer 1 (oder allgemeiner?)
3b) N : ( welche ?) Funktion von n.
Mit freundlichen Grüßen
Mathekibiz
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