Fibonacci zahlen < (7/4)^n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Ziykuna |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
x1 = 1
x2 = 2
und xn+2 = xn + xn+1
daraus folgt, xn < [mm] (7/4)^n [/mm] |
Ja mal wieder Dibonacci Zahlen :>. Irgendwie komm ich nicht wirklich auf nen Grünen Zweig.... :/ und mir fehlt auch einfach Erfahrung mit Ungleichungen muss ich sagen....
Zu zeigen is, das mit Induktion....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> x1 = 1
> x2 = 2
> und xn+2 = xn + xn+1
> daraus folgt, xn < [mm](7/4)^n[/mm]
> Ja mal wieder Dibonacci Zahlen :>. Irgendwie komm ich
> nicht wirklich auf nen Grünen Zweig.... :/ und mir fehlt
> auch einfach Erfahrung mit Ungleichungen muss ich
> sagen....
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> Zu zeigen is, das mit Induktion....
da steht doch alles. Zeige, dass die Behauptung für $n=1$ stimmt, und zudem, dass sie für $n=2$ stimmt.
Jetzt sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n > 2$ beliebig und die Behauptung gelte für alle $n [mm] \in \IN_{< n} [/mm] $. Dann gilt sowohl [mm] $x_{n} [/mm] < [mm] (7/4)^n$, [/mm] als auch [mm] $x_{n-1} [/mm] < [mm] (7/4)^{n-1}$.
[/mm]
Im Induktionsschritt hast Du nun zu zeigen, dass [mm] $x_{n+1} [/mm] < [mm] (7/4)^{n+1}$ [/mm] ist.
Dazu:
Es gilt:
[mm] $x_{n+1}=x_n+x_{n-1}$, [/mm] und daher ist
[mm] $$x_{n+1} [/mm] < [mm] (7/4)^n+(7/4)^{n-1}$$
[/mm]
wegen der Induktionsvoraussetzung. Jetzt ist es an Dir, noch zu zeigen, dass [mm] $(7/4)^n+(7/4)^{n-1} \le (7/4)^{n+1}$ [/mm] ist, denn daraus folgt dann ja schon [mm] $x_{n+1} [/mm] < [mm] (7/4)^{n}+(7/4)^{n-1} \le (7/4)^{n+1}$ [/mm] (Transitivität).
Damit ich Dir die Aufgabe hier nicht nur "runterbete", überlasse ich es nun also Dir, zu begründen, dass [mm] $(7/4)^n+(7/4)^{n-1} \le (7/4)^{n+1}$. [/mm] Ein kurzer Blick sollte Dir zeigen, dass diese Ungleichung deshalb richtig ist, weil sie zu einer anderen äquivalent ist, die wiederum offensichtlich richtig ist. Genaueres liefere ich Dir allerdings nur noch auf Nachfrage, da Du hier ja den Induktionsbeweis lernen sollst 
Gruß,
Marcel
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