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| Aufgabe | | Leite die explizite Darstellung der Fibonacci-Folge her. |
Also, ich fange mit dem Ansatz einer geometrischen Folge an:
[mm] f_{n}=aq^n
[/mm]
aus [mm] f_n [/mm] = [mm] f_n-1 [/mm] + [mm] f_n-2 [/mm] wird dann durch einsetzen und umformen [mm] q^2 [/mm] = q + 1
und mit der mitternachtsformel ergeben sich dann die lösungen
[mm] q_1 =\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] und [mm] q_2 [/mm] = [mm] \bruch{1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
als nächsten ansatz ist dann [mm] f_n [/mm] = [mm] a_1q_1^n [/mm] + [mm] a_2q_2^nmit [/mm] den anfangsbedingungen f1 = 1 und f2 = 1
jetzt setze ich die anfangsbedingungen und meine [mm] q_1 [/mm] und [mm] q_2 [/mm] ergebnisse ein und bekomme dann:
[mm] a_1 \* \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] + [mm] a_2 \* \bruch{1-\wurzel{5}}{2} [/mm] = 1
und
[mm] a_1 [/mm] ( [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2})^2 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] ( [mm] \bruch{1-\wurzel{5}}{2})^2 [/mm] = 1
so, meine probleme sind jetzt folgende:
1. Ich verstehe nicht, warum genau man die beiden oben genannten ansätze wählt und 2. wie ich an diesem punkt jetzt auf a1 bzw a2 kommen soll.
schonmal danke für jede hilfe!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Do 24.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo du verstehsts gleich
1. Wie man auf den Ansatz kommt? So was kann man selten begründen, wird von dir zum Glück nicht verlangt, und setz viel Erfahrung mit den Fibonacci Zahlen vorraus. Eigentlich weiss man gleich, dass der Ansatz scheitern MUSS weil man damit sicher nicht f1=1 UND f2=1 hinkriegt. also will man eigentlich direkt den Ansatz 2, den kann man aber noch weniger begründen, der erste ist wenigstens ne Reihe, die man gut kennt und deren Summe auch und man könnte sagen ich probiers halt mal.
Der zweite ist jetzt schon besser, 1. weil jedes Teil die obige richtige quadratische Gleichung löst, und damit das richtige Rekursionsgesetz liefert und zweitens man jetzt 2 "Variablen" hat, so dass die Hoffnung besteht, dass man die so bestimmen kann, dass f1=1 UND f2=1 ist.
Damit kommen wir zu deinem 2. Problem. da stehen 2 Gleichungen mit den Unbekannten a1 und a2, wenn dirs gewohnter ist, nenn sie u und v oder x und y.
in beiden Gleichungen stehen vor den a1 und a2 einfach nur Zahlen, die leider ein bissel kompliziert aussehen.
aber viel schrecklicher als
3x+4y=1
9x+16y=1 sind sie auch nicht.
könntest du die lösen? sie sind ganz ähnlich, weil unten auch das Quadrat von oben steht.
Aber das beliebte "Einsetzungsverfahren" wird hier kompliziert.
also multiplizier die erste Gleichung mit [mm] -(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})
[/mm]
und addier sie zur ersten. (Denk beim mult. des zweiten Terms an die 3. binomische Formel!) beim ersten nicht ausmultipl. sondern einfach das Quadrat stehen lassen. dann addierst du die 2 Gleichungen, und Hurra du hast nur noch a2 als Unbekannte.
um a1 rauszukriegen mult du die erste mit [mm] -(\bruch{1-\wurzel{5}}{2}) [/mm] und dann wieder addieren.
Auf die plätze fertig los!
Gruss leduart
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also irgendwie bekomm ichs nich hin. ich scheitere schon am "mit [mm] -(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}) [/mm] multiplizieren".
Kann mir bitte nochmal jemand auf die sprünge helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 27.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> also irgendwie bekomm ichs nich hin. ich scheitere schon am
> "mit [mm]-(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})[/mm] multiplizieren".
d.h. die ganze erste Gleichung, jeden Term links und rechts damit mult.
Bsp: ax+by=c mit a mult. ergibt [mm] a^2*x*a*b*y=c*d
[/mm]
> Kann mir bitte nochmal jemand auf die sprünge helfen?
Du musst jetzt erst mal selbst was tun!
1.der erste Ausdruck mit [mm]-(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})[/mm] multipl. ergibt einfach das Quadrat.
2. (a-b)/2*(a+b)/2 musst du können- ich weigere mich einfach jemand oberhalb der 7. Klasse das Ausmult. von Klammern beizubringen! (a=1 [mm] b=\wurzel{5})
[/mm]
Wenn ich das auch noch täte hättest du einfach ne von mir gemachte HA und nix gelernt! behandle [mm] \wurzel{5} [/mm] einfach wie jede andere Zahl b, nur dass du noch weisst dass [mm] (\wurzel{5})^2=5
[/mm]
Und jetzt tu einfach mal was, solange man ängstlich vor ner Aufgabe sitzt und sich selbst einredet man könnte es nicht, kommt man nicht voran!
Gruss leduart
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es tut mir ja sehr leid, aber ich bin halt zu blöd dazu. Ich bekomm immer noch den falschen wert für [mm] a_2 [/mm] raus. der einfachheit halber poste ich einfach mal meinen gesamten rechenweg.
Kann ihn sich bitte jemand anschauen und rausfinden was ich schon die ganze Zeit falsch mache? bestimmt ist es irgendwas total blödes, einfaches ^^
Danke!!!
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deiner dritten Zeile steckt der erste Fehler.
bei a1 richtig, bei a2 muss doch stehen
[mm] -a2*(1+\wurzel{5})/2*(1-\wurzel{5})/2=-a2(1-5)=+4*a2 [/mm] (3.bin. Formel!)
Und deshalb ist der Rest leider falsch. da hast du allerdings soweit ich sehe ohne Fehler gerechnet, also nur der am Anfang!
Gruss leduart
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Aber dann bekomm ich ja für [mm] a_2 [/mm] = [mm] 1-\wurzel{5} [/mm] / [mm] 8-\wurzel{5} [/mm] raus. und das is ja auch falsch ?!?
Lg, ich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hatte in meinem post die 4 im Nenner vergessen.
deine 5-te Zeile
[mm] a2+a2(1-\wurzel{5})/2)^2=1-(1+\wurzel{5})/2
[/mm]
[mm] a2*(5/2-\wurzel{5}/2)=(1-\wurzel{5})/2
[/mm]
[mm] a2=(1-\wurzel{5})/(5-\wurzel{5})
[/mm]
im Nenner [mm] \wurzel{5}ausklammern [/mm] ergibt
[mm] a2=-1/\wurzel{5}=-\wurzel{5}/5
[/mm]
Gruss leduart
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Vielen, vielen Dank!!
Es hat zwar lange gedauert, aber jetzt hab ichs verstanden^^.
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