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| Aufgabe 1 | Fibonacci Zahlen
1. Man bestimme alle [mm] q\in \IR \backslash [/mm] {0} für die gilt
[mm] q^{n+2} [/mm] = [mm] q^{n+1} [/mm] + [mm] q^{n} [/mm] für alle [mm] n\in \IN. [/mm]
2. Man betrachte die Fibonacci-Folge [mm] (b_{n})_{n\in \IN}, [/mm] rekursiv definiert durch [mm] b_{1} [/mm] = 1, [mm] b_{2} [/mm] = 1 und [mm] b_{n+2} [/mm] = [mm] b_{n+1} [/mm] + [mm] b_{n} [/mm] für [mm] n\in \IN, [/mm] und zeige: Es gibt [mm] c_{1}, c_{2}, q_{1}, q_{2} \in \IR [/mm] mit
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] c_{1}(q_{1})^{n} [/mm] + [mm] c_{2}(q_{2})^{n} \forall n\in \IN. [/mm]
(Tipp: [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] liegen durch [mm] b_{n} [/mm] für n = 1,2 fest, der Rest folgt durch Induktion.) |
| Aufgabe 2 | | Man zeige: Teilfolgen einer gegen [mm] a\in \IR [/mm] konvergenten Folge konvergieren ebenfalls gegen [mm] a\in \IR [/mm] |
Aufgabe 1:
Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben wie ich die beide Aufgabe anfange: Mein Problem bei 1.1 ist folgendes:
wenn ich [mm] q\in \IR [/mm] durch 2 ersetze und n=1 setzte, dann heißt die Gleichung wie folgt: [mm] 2^{1+2} [/mm] = [mm] 2^{1+1} [/mm] + [mm] 2^{1} [/mm] und 8 [mm] \not= [/mm] 6
oder muss ich hier garnicht nach einem reellen q suchen ???
Aufgabe 2 (ist die Lösung so schon fertig?):
Konvergiert eine Folge gegen [mm] a\in \IR, [/mm] dann muss auch ihre Teilfolge gegen [mm] a\in \IR [/mm] konvergieren.
Die Ausgangsfolge [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] konvergiert gegen [mm] a\in \IR. [/mm] Dann liegen für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 der Folge höchstens endlich viele Glieder außerhalb von [mm] U_{\epsilon}(a) [/mm] und somit müssen nach Definition einer Teilfolge auch nur endlich viele Glieder ihrer Teilfolge außerhalb [mm] U_{\epsilon}(a) [/mm] liegen. Das heißt, fast alle Folgenflieder liegen in [mm] U_{\epsilon}(a). [/mm] Somit konvergiert die Teilfolge ebenfalls gegen [mm] a\in \IR. [/mm]
Definition einer Teilfolge:
Eine Teilfolge [mm] (b_{k})_{k\in \IN} [/mm] ist eine Folge, deren sämtliche Glieder auch Glieder der Folge [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] sind. Die Anordung der Folgenglieder bleibt erhalten, somit gilt für die Glieder einer Teilfolge [mm] (b_{k})_{k\in \IN} [/mm] von [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] : [mm] b_{k} [/mm] = [mm] a_{n(k)} [/mm] und n(k+1) > n(k)
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Huhu,
> wenn ich [mm]q\in \IR[/mm] durch 2 ersetze und n=1 setzte, dann
> heißt die Gleichung wie folgt: [mm]2^{1+2}[/mm] = [mm]2^{1+1}[/mm] + [mm]2^{1}[/mm]
> und 8 [mm]\not=[/mm] 6
> oder muss ich hier garnicht nach einem reellen q suchen
> ???
doch, musst du. Aber du weißt nun zumindest schonmal, dass es für $q=2$ nicht gilt, somit ist 2 kein Element der Lösungsmenge.
Tip: Durch [mm] p^n [/mm] teilen und dann hast du eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.
> Aufgabe 2 (ist die Lösung so schon fertig?):
>
> Konvergiert eine Folge gegen [mm]a\in \IR,[/mm] dann muss auch ihre
> Teilfolge gegen [mm]a\in \IR[/mm] konvergieren.
> Die Ausgangsfolge [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] konvergiert gegen [mm]a\in \IR.[/mm]
> Dann liegen für jedes [mm]\epsilon[/mm] > 0 der Folge höchstens
> endlich viele Glieder außerhalb von [mm]U_{\epsilon}(a)[/mm] und
> somit müssen nach Definition einer Teilfolge auch nur
> endlich viele Glieder ihrer Teilfolge außerhalb
> [mm]U_{\epsilon}(a)[/mm] liegen. Das heißt, fast alle Folgenflieder
> liegen in [mm]U_{\epsilon}(a).[/mm] Somit konvergiert die Teilfolge
> ebenfalls gegen [mm]a\in \IR.[/mm]
Korrekt, ich würde noch hinzufügen: "somit müssen nach Definition einer Teilfolge auch nur endlich viele Glieder ihrer Teilfolge außerhalb [mm]U_{\epsilon}(a)[/mm] liegen, da [mm] $(b_{k})_{k\in \IN} \subset (a_n)_{n\in\IN}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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Zunächst einmal Danke für den Tipp zu 1.1 und die Korrektur zu 2.
Nun aber meine neue Frage:
Versteh ich die Aufgabe richtig:
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] c_{1}(q_{1})^{n}+c_{2}(q_{2})^{n} \forall n\in \IN
[/mm]
5 = [mm] c_{1}(q_{1})^{2}+c_{2}(q_{2})^{3} \forall n\in \IN [/mm]
für [mm] b_{1}=1 [/mm] und [mm] b_{2}=1 [/mm] kann ich dann [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] ausrechnen.
Oder kann mir jemand ein Tipp geben wie ich die Aufgabe angeh.
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Hiho,
> Versteh ich die Aufgabe richtig:
anscheinend nicht.....
> [mm]b_{n}[/mm] = [mm]c_{1}(q_{1})^{n}+c_{2}(q_{2})^{n} \forall n\in \IN[/mm]
>
> 5 = [mm]c_{1}(q_{1})^{2}+c_{2}(q_{2})^{3} \forall n\in \IN[/mm]
> für [mm]b_{1}=1[/mm] und [mm]b_{2}=1[/mm] kann ich dann [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm]
> ausrechnen.
Wie kommst du jetzt auf die 5? Und vorallem: Wieso unterscheiden sich die Exponenten von [mm] q_1 [/mm] und [mm] q_2 [/mm] ? Die sollen doch gleich sein.......
Ok, von vorne:
Gegeben ist die Fibonacci-Folge, die rekursiv definiert ist durch:
[mm] $b_1 [/mm] = [mm] b_2 [/mm] = 1$ und [mm] $b_{n+2} [/mm] = [mm] b_{n+1} [/mm] + [mm] b_n$.
[/mm]
Berechne mal bitte die ersten 10 Glieder dieser Folge um ein Gefühl dafür zu bekommen......
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Nächster Teil der Aufgabe:
Du sollst nun zeigen, dass obige rekursiv definierte Folge sich auch explizit definieren lässt als
[mm] $b_n [/mm] = [mm] c_1*q_1^n [/mm] + [mm] c_2*q_2^n$ [/mm] mit reellen Konstanten [mm] c_1,c_2
[/mm]
Insbesondere muss die explizite Darstellung ja auch für n=1 und n=2 gelten.
Setze dafür einfach mal stupide für n=1 bzw. n=2 ein.
So erhälst zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten, die du damit ausrechnen kannst.
Dann hast du schonmal [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] bestimmt und musst nur noch zeigen, dass die nun gefundene Darstellung auch für ALLE Folgenglieder gilt (Tip: Induktion)
MFG,
Gono.
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Oke zunächst mal die ersten 10 Glieder der Fibonacci-Folge:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...
> Wie kommst du jetzt auf die 5? Und vorallem: Wieso unterscheiden sich die Exponenten von [mm]q_1[/mm] und [mm]q_2[/mm] ? Die sollen doch gleich sein.......
Ich hab an die Fibonacci-Folge gedacht 5=2+3 (aber egal, war nur ne Anmerkung)
> Nächster Teil der Aufgabe:
>
> Du sollst nun zeigen, dass obige rekursiv definierte Folge
> sich auch explizit definieren lässt als
>
> [mm]b_n = c_1*q_1^n + c_2*q_2^n[/mm] mit reellen Konstanten [mm]c_1,c_2[/mm]
>
> Insbesondere muss die explizite Darstellung ja auch für
> n=1 und n=2 gelten.
> Setze dafür einfach mal stupide für n=1 bzw. n=2 ein.
> So erhälst zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten, die du
> damit ausrechnen kannst.
>
> Dann hast du schonmal [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] bestimmt und musst nur
> noch zeigen, dass die nun gefundene Darstellung auch für
> ALLE Folgenglieder gilt (Tip: Induktion)
>
> MFG,
> Gono.
Alos setzte ich nun n=1 und n=2, ich erhalte folgende Gleichnungen:
[mm] b_{1}=c_{1}*{q_{1}}^{1}+c_{2}*{q_{2}}^{1}
[/mm]
[mm] b_{2}=c_{1}*{q_{1}}^{2}+c_{2}*{q_{2}}^{2}
[/mm]
Da jetzt aber [mm] b_{1} \not= b_{2} [/mm] ist, kann ich ja nicht [mm] b_{1}=b_{2} [/mm] setzen, sonder muss die Gleichung dann nach [mm] c_{1} [/mm] bzw. [mm] c_{2} [/mm] auflösen. Richtig ???
Grüße TrockenNass
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Hiho,
> Da jetzt aber [mm]b_{1} \not= b_{2}[/mm] ist, kann ich ja nicht
> [mm]b_{1}=b_{2}[/mm] setzen, sonder muss die Gleichung dann nach
> [mm]c_{1}[/mm] bzw. [mm]c_{2}[/mm] auflösen. Richtig ???
korrekt, wobei du ja [mm] b_1,b_2,q_1,q_2 [/mm] kennst, also sollte das kein Problem sein.
MFG,
Gono.
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> korrekt, wobei du ja [mm]b_1,b_2,q_1,q_2[/mm] kennst, also sollte das kein Problem sein.
DOCH ! ! ! Die Frage mag jetzt vielleicht richitg dumm erscheinen: Aber woher kenn ich [mm] q_{1},q_{2}?
[/mm]
Geh ich richtig in der Annahme, dass das [mm] q_{1},q_{2} [/mm] aus Aufgabe 1.1 gemeint ist welches den Wert [mm] q_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-1+\wurzel{5}}{-2} [/mm] bzw. [mm] q_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-1-\wurzel{5}}{-2} [/mm] hat?
Gruß TrockenNass
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Mir gehts genauso. Hab schon einiges rumgerechnet.
Woher weiß ich welches (+-) q ich einsetzte und wie genau hilft mir das Ergebnis dann bei der Induktion?
Hab schon zich Seiten voller Rechnungen, die mir alle nicht weiterhelfen..
Ohne die eingesetzten qs bin ich bei folgenden cs:
[mm]c_1 = \bruch{1-(q_2)^2\bruch{1+q_1}{1-q_1}}{q_1}[/mm]
[mm]c_2 = q_2\bruch{1+q_1}{1-q_1}[/mm]
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Dann setz doch mal ein und sag, welche Zahlen du für [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] rausbekommst 
Macht die korrektur einfacher.
MFG,
Gono.
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[mm]c_1=\bruch{-7-3\wurzel{5}}{2}[/mm]
[mm]c_2=\bruch{3+\wurzel{5}}{2}[/mm]
Habe für [mm]q_1[/mm] den q wert mit + und für [mm]q_2[/mm] den für - eingesetzt. Allerdings hätte ich das ja auch verkehrtherum machen können, oder eben beide mit + oder -.
Was sagt mir jetzt was genau ich einsetzten soll?
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Wie kommt man auf [mm] c_{2}?
[/mm]
Kann mir einer bitte einen Tipp geben, wie ich auf [mm] c_{2} [/mm] komm, ich seh langsam vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Fr 05.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh unten
Gruss leduart
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Hiho,
> Geh ich richtig in der Annahme, dass das [mm]q_{1},q_{2}[/mm] aus
> Aufgabe 1.1 gemeint ist welches den Wert [mm]q_{1}[/mm] =
> [mm]\bruch{-1+\wurzel{5}}{-2}[/mm] bzw. [mm]q_{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{-1-\wurzel{5}}{-2}[/mm] hat?
genau!
Wobei ich dir empfehlen würde, den Nenner auf 2 zu bringen.......
MFG,
Gono.
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[mm] b_{n}=c_{1}(q_{1})^{n}+c_{2}(q_{2})^{n}
[/mm]
[mm] q_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} -\wurzel{5}
[/mm]
[mm] q_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} +\wurzel{5}
[/mm]
[mm] b_{1} [/mm] = 1
[mm] b_{2} [/mm] = 1
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \bruch{b_{n}-c_{2}(q_{2})^{n}}{(q_{1})^{n}}
[/mm]
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{b_{n}-c_{1}(q_{1})^{n}}{(q_{2})^{n}}
[/mm]
Als nächsten Schritt hab ich jetzt [mm] c_{2} [/mm] in [mm] c_{1} [/mm] eingesetzt. Dann folgt:
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \bruch{b_{n}-\bruch{b_{n}-c_{1}(q_{1})^{n}}{(q_{2})^{n}}(q_{2})^{n}}{(q_{1})^{n}} [/mm] = ... = [mm] -c_{1}
[/mm]
Das selbe für [mm] c_{2} [/mm] = ... = [mm] -c_{2}
[/mm]
Selbst mir ist klar, dass das nicht stimmt, bloss wo in aller Welt liegt jetzt mein Fehler ???
Gruß TrockenNass
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Nuja, du hast dich
1.) verrechnet
2.) Solltest du dir nochmal dein [mm] q_1 [/mm] und [mm] q_2 [/mm] angucken, da hast du falsch vereinfacht
3.) Forme EINE Gleichung nach [mm] c_1 [/mm] und und setze DANN in die andere ein. Nicht gegenseitig einsetzen, das ergibt natürlich nur wahre Aussagen.....
mFG,
Gono.
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zu 2.)
[mm] q_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{1 \pm \wurzel{5}}{2}
[/mm]
Stimmt jetzt wenigstens das ?
Gruß TrockenNass
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Fr 05.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja das ist richtig.
jetzt sollst du die Gl für b1 und b2 NICHT für bn einsetzen!
[mm] b_1: 1=c_1q_1+c_2q2
[/mm]
[mm] b_2: 1=c_1q_1^2+c_2q_2^2jetzt [/mm] nach Gauss die erst gl mit q1 multipll
danach von der 2 ten abziehen. bleibt c2=
dann c2 einsetzen oder die erste mit [mm] q_2 [/mm] mult und von der 2 ten abziehen
meist macht man dabei viel weniger Fehler als beim Einsetzverahren!
Am Ende q1 und q2 einsetzen. fertig , Hurra brüllen
gruss leduart
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Naja fertig ist da noch nichts. Die Induktion fehlt noch, aber die geht dann ganz flott.
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