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| Aufgabe | http://theoretische.informatik.uni-wuerzburg.de/fileadmin/10030400/Lehre/TI/aufg.theoinf.07.pdf
Aufgabe 1.22 |
Hallo, wie ihr in der Aufgabe sehen könnt, ist es sicher für einige einfach, doch kann ich mit dem Begriff Induktion in diesem Fall nichts anfangen, somit meine Frage an euch ob mir jemand bei dieser Aufgabe einen kleinen tip geben kann, wie man am besten anfängt. Ich hoffe ihr könnt mir verzeihen das ich einfach das Pdf genommen habe.
mfg Björn Boyens
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Björn,
gehe die Induktion einfach mal "wie immer" an..
[mm] \underline{Induktionsanfang}: [/mm] $n=1$
Es ist [mm] $f_1=1$ [/mm] nach Definition
Ebenso [mm] $\frac{(1+\sqrt{5})^{1+1}-(1-\sqrt{5})^{1+1}}{\sqrt{5}\cdot{}2^{1+1}}=...=1$
[/mm]
selber ausrechnen... 
[mm] \underline{Induktionsschritt}: $n\to [/mm] n+1$
[mm] \underline{Induktionsvoraussetzung}: [/mm] Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] beliebig und gelte für alle [mm] $k\le [/mm] n$ (erweiterte Induktionsvoraussetzung)
[mm] $f_k=\frac{(1+\sqrt{5})^{k+1}-(1-\sqrt{5})^{k+1}}{\sqrt{5}\cdot{}2^{k+1}}$
[/mm]
Im eigentlichen Induktionsbeweis müssen wir nun zeigen, dass unter der Induktionsvoraussetzung gefälligst auch
[mm] $f_{n+1}=\frac{(1+\sqrt{5})^{(n+1)+1}-(1-\sqrt{5})^{(n+1)+1}}{\sqrt{5}\cdot{}2^{(n+1)+1}}$ [/mm] ist
Versuchen wir's mal:
[mm] $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$ [/mm] nach Definition der Fibonaccifolge
[mm] $=\frac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{\sqrt{5}\cdot{}2^{n+1}}+\frac{(1+\sqrt{5})^{(n-1)+1}-(1-\sqrt{5})^{(n-1)+1}}{\sqrt{5}\cdot{}2^{(n-1)+1}}$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung
Das musst du nun weiter vereinfachen und in die Form [mm] $.....=\frac{(1+\sqrt{5})^{(n+1)+1}-(1-\sqrt{5})^{(n+1)+1}}{\sqrt{5}\cdot{}2^{(n+1)+1}}$ [/mm] bringen
Dann hast du's. Ist nur ein wenig Rechnerei....
Reichen dir die Hinweise?
LG
schachuzipus
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Super, hast mir damit sehr weitergeholfen, wir haben glaube ich einen Fehler irgendwie beim durchrechnen gemacht... und kommen sicher im Laufe der Nacht noch auf deine Lösung ;)
mfg Manny
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